Verificar se a reta está contida no plano : a)
b) e
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para verificar se a reta está contida no plano . O problema está dividido em duas partes:
a) e
b) e
Vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como equações paramétricas de retas e planos, além de substituição para verificar se todos os pontos da reta satisfazem a equação do plano.
Parte a)
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a reta . Dado que e , podemos usar como parâmetro. Vamos chamar . Então:
Passo 3
Agora, substituímos esses valores na equação do plano :
Substituindo:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão:
Somando os termos semelhantes:
Passo 5
Nesta parte, a reta está dada de forma simétrica:
Assim, podemos parametrizar a reta usando como parâmetro:
Passo 6
O plano está dado por equações paramétricas:
Para verificar se a reta está contida no plano, precisamos encontrar valores de e que satisfaçam as equações da reta para todo .
Passo 7
Igualamos as equações da reta às do plano:
Simplificando a terceira equação:
Passo 8
Substituímos na primeira equação:
Passo 9
Com , substituímos na expressão :
Passo 10
Agora, substituímos e na segunda equação:
Passo 11
A igualdade é sempre verdadeira, mas precisamos verificar se pode assumir todos os valores para que a reta esteja completamente dentro do plano.
Perceba que encontramos valores específicos para e , o que indica que apenas um ponto da reta está no plano.
Resposta
A reta não está completamente contida no plano ; apenas um ponto da reta pertence ao plano.