Verificar se a reta está contida no plano : a)
b) e
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para verificar se a reta ly=4x+1 z=2x-1 está contida no plano lx = h + t y = -1 + 2h - 3t z = -3 + h - t. O problema está dividido em duas partes:
a) e
b) e
Vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como equações paramétricas de retas e planos, além de substituição para verificar se todos os pontos da reta satisfazem a equação do plano.
Parte a)
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a reta x = t y = 4t + 1 z = 2t - 1 . Dado que e , podemos usar como parâmetro. Vamos chamar . Então:
Passo 3
Agora, substituímos esses valores na equação do plano 2x + y - 3z - 4 = 0 :
2(t) + (4t + 1) - 3(2t - 1) - 4 = 0
Substituindo:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão:
2t + 4t + 1 - 6t + 3 - 4 = 0
Somando os termos semelhantes:
(2t + 4t - 6t) + (1 + 3 - 4) = 0 0t + 0 = 0
Passo 5
Nesta parte, a reta x - 21 = y + 22 = z + 31 = s está dada de forma simétrica:
x = 2 + s y = -2 + 2s z = -3 + s
Assim, podemos parametrizar a reta usando como parâmetro:
Passo 6
O plano x = h + t y = -1 + 2h - 3t z = -3 + h - t está dado por equações paramétricas:
Para verificar se a reta está contida no plano, precisamos encontrar valores de e que satisfaçam as equações da reta para todo .
Passo 7
Igualamos as equações da reta às do plano:
2 + s = h + t -2 + 2s = -1 + 2h - 3t -3 + s = -3 + h - t
Simplificando a terceira equação:
-3 + s = -3 + h - t implies s = h - t
Passo 8
Substituímos 2 + (h - t) = h + t 2 + h - t = h + t 2 = 2t implies t = 1 na primeira equação: