Verificar se a reta r está contida no plano pi: a) r:ly=4 x+1 z=2 x-1 e pi: 2 x+y-3 z-4=0
b) r: x-2=y+22=z+31 e pi:lx=h+t y=-1+2 h-3 t z=-3+h-t

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para verificar se a reta ly=4x+1 z=2x-1 está contida no plano lx = h + t y = -1 + 2h - 3t z = -3 + h - t. O problema está dividido em duas partes:
a) e
b) e
Vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como equações paramétricas de retas e planos, além de substituição para verificar se todos os pontos da reta satisfazem a equação do plano.

Parte a)

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a reta x = t y = 4t + 1 z = 2t - 1 . Dado que e , podemos usar como parâmetro. Vamos chamar . Então:

Passo 3

Agora, substituímos esses valores na equação do plano 2x + y - 3z - 4 = 0 :
2(t) + (4t + 1) - 3(2t - 1) - 4 = 0
Substituindo:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão:
2t + 4t + 1 - 6t + 3 - 4 = 0
Somando os termos semelhantes:
(2t + 4t - 6t) + (1 + 3 - 4) = 0 0t + 0 = 0

Passo 5

Nesta parte, a reta x - 21 = y + 22 = z + 31 = s está dada de forma simétrica:
x = 2 + s y = -2 + 2s z = -3 + s
Assim, podemos parametrizar a reta usando como parâmetro:

Passo 6

O plano x = h + t y = -1 + 2h - 3t z = -3 + h - t está dado por equações paramétricas:
Para verificar se a reta está contida no plano, precisamos encontrar valores de e que satisfaçam as equações da reta para todo .

Passo 7

Igualamos as equações da reta às do plano:
2 + s = h + t -2 + 2s = -1 + 2h - 3t -3 + s = -3 + h - t
Simplificando a terceira equação:
-3 + s = -3 + h - t implies s = h - t

Passo 8

Substituímos 2 + (h - t) = h + t 2 + h - t = h + t 2 = 2t implies t = 1 na primeira equação:

Passo 9

Com s = h - 1 , substituímos na expressão :

Passo 10

Agora, substituímos -2 + 2(h - 1) = -1 + 2h - 3(1) -2 + 2h - 2 = -1 + 2h -3 2h -4 = 2h -4 e na segunda equação:

Passo 11

A igualdade é sempre verdadeira, mas precisamos verificar se pode assumir todos os valores para que a reta esteja completamente dentro do plano.
Perceba que encontramos valores específicos para e , o que indica que apenas um ponto da reta está no plano.

Resposta

A reta não está completamente contida no plano ; apenas um ponto da reta pertence ao plano.

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