Verificar se a reta está contida no plano : a)
b) e

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para verificar se a reta está contida no plano . O problema está dividido em duas partes:
a) e
b) e
Vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como equações paramétricas de retas e planos, além de substituição para verificar se todos os pontos da reta satisfazem a equação do plano.

Parte a)

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a reta . Dado que e , podemos usar como parâmetro. Vamos chamar . Então:

Passo 3

Agora, substituímos esses valores na equação do plano :
Substituindo:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão:
Somando os termos semelhantes:

Passo 5

Nesta parte, a reta está dada de forma simétrica:
Assim, podemos parametrizar a reta usando como parâmetro:

Passo 6

O plano está dado por equações paramétricas:
Para verificar se a reta está contida no plano, precisamos encontrar valores de e que satisfaçam as equações da reta para todo .

Passo 7

Igualamos as equações da reta às do plano:
Simplificando a terceira equação:

Passo 8

Substituímos na primeira equação:

Passo 9

Com , substituímos na expressão :

Passo 10

Agora, substituímos e na segunda equação:

Passo 11

A igualdade é sempre verdadeira, mas precisamos verificar se pode assumir todos os valores para que a reta esteja completamente dentro do plano.
Perceba que encontramos valores específicos para e , o que indica que apenas um ponto da reta está no plano.

Resposta

A reta não está completamente contida no plano ; apenas um ponto da reta pertence ao plano.

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Seja uma transformação linear. Mostre que se e somente se .
Em cada parte, encontre a matriz aumentada do sistema de equações lineares dado.
f)
Seja uma aplicação. Mostre que
(a) Se F é uma transformação linear, então .
Verifique se as seguintes aplicações são injetoras, sobrejetoras, bijetoras e transformações lineares:
(e) , onde .