Usando o Teorema do confronto, prove que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que o limite de
quando
se aproxima de
pela direita é igual a
. A matéria que vamos usar aqui é o Teorema do Confronto (também conhecido como Teorema do Sandwich ou Squeeze Theorem). Para resolver, precisamos entender como esse teorema funciona e aplicar algumas propriedades das funções envolvidas, como a da raiz quadrada, exponencial e seno.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o Teorema do Confronto. Esse teorema diz que se temos três funções
,
e
definidas em um intervalo ao redor de um ponto (exceto possivelmente no próprio ponto), e se
para todo
nesse intervalo, e se os limites de
e
quando
se aproxima do ponto são iguais a
, então o limite de
também é
.
Ou seja, se conseguimos “apertar” a função que queremos pelo topo e pelo fundo com funções que têm o mesmo limite, então a nossa função também tem esse limite.
Passo 3
Agora, vamos analisar a função
. Sabemos que o seno sempre está entre
e
. Então:
Aplicando a função exponencial em todos os termos (lembrando que a exponencial é uma função crescente, ou seja, preserva as desigualdades):
Portanto:
Passo 4
Agora, multiplicamos todas as partes da desigualdade por
. Como
é positiva para
, as desigualdades permanecem na mesma direção:
Passo 5
Vamos analisar os limites das funções nas extremidades quando
se aproxima de
:
Portanto, ambos os limites das funções que estão “segurando” a nossa função principal são
.
Resposta
Pelo Teorema do Confronto, concluímos que: