Usando o Teorema do confronto, prove que
lim x 0^+ raizx e^sen(pi / x)=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que o limite de quando se aproxima de pela direita é igual a . A matéria que vamos usar aqui é o Teorema do Confronto (também conhecido como Teorema do Sandwich ou Squeeze Theorem). Para resolver, precisamos entender como esse teorema funciona e aplicar algumas propriedades das funções envolvidas, como a da raiz quadrada, exponencial e seno.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teorema do Confronto. Esse teorema diz que se temos três funções , e definidas em um intervalo ao redor de um ponto (exceto possivelmente no próprio ponto), e se para todo nesse intervalo, e se os limites de e quando se aproxima do ponto são iguais a , então o limite de também é .
Ou seja, se conseguimos “apertar” a função que queremos pelo topo e pelo fundo com funções que têm o mesmo limite, então a nossa função também tem esse limite.

Passo 3

Agora, vamos analisar a função -1 <= sin(pix) <= 1 . Sabemos que o seno sempre está entre e^-1 <= e^sin(pix) <= e^1 e 1e <= e^sin(pix) <= e . Então:
Aplicando a função exponencial em todos os termos (lembrando que a exponencial é uma função crescente, ou seja, preserva as desigualdades):
Portanto:

Passo 4

Agora, multiplicamos todas as partes da desigualdade por raizxe <= raizx cdot e^sin(pix) <= e cdot raizx . Como é positiva para , as desigualdades permanecem na mesma direção:

Passo 5

Vamos analisar os limites das funções nas extremidades quando se aproxima de :
Portanto, ambos os limites das funções que estão “segurando” a nossa função principal são .

Resposta

Pelo Teorema do Confronto, concluímos que:
limx 0^+ raizx cdot e^sin(pi / x) = 0

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