Seja . Calcular aproximadamente a raiz com precisão 0.005 .

Passo 1

Beleza, a gente tem a função e precisa encontrar uma raiz dessa função, ou seja, um valor de que faz . Para resolver isso, vamos usar o Método da Bissecção, que faz parte dos métodos numéricos em cálculo. Esse método é ótimo para encontrar raízes quando sabemos que a função muda de sinal em um intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar um intervalo inicial onde a função muda de sinal. Isso garante que existe pelo menos uma raiz nesse intervalo, de acordo com o Teorema do Valor Intermediário.
Vamos calcular para alguns valores de :
  • Para :
  • Para :
Vemos que e . Como a função muda de negativo para positivo nesse intervalo, sabemos que existe pelo menos uma raiz entre 0 e 1.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Método da Bissecção para encontrar a raiz com a precisão desejada de 0,005. Esse método funciona dividindo o intervalo ao meio repetidamente e selecionando o subintervalo onde ocorre a mudança de sinal.
  1. Primeira iteração:
    • Intervalo:
    • Ponto médio:
    • Calculando :
    • Como é negativo e é positivo, a raiz está no intervalo .
  2. Segunda iteração:
    • Intervalo:
    • Ponto médio:
    • Calculando :
    • Como é positivo e é negativo, a raiz está no intervalo .
  3. Terceira iteração:
    • Intervalo:
    • Ponto médio:
    • Calculando :
    • Como é positivo e é negativo, a raiz está no intervalo .
  4. Quarta iteração:
    • Intervalo:
    • Ponto médio:
    • Calculando :
    • Como é positivo e é negativo, a raiz está no intervalo .
  5. Quinta iteração:
    • Intervalo:
    • Ponto médio:
    • Calculando :
    • Como é positivo e é negativo, a raiz está no intervalo .
  6. Sexta iteração:
    • Intervalo:
    • Ponto médio:
    • Calculando :
    • Como é negativo e é positivo, a raiz está no intervalo .

Resposta

A raiz da função está aproximadamente em com uma precisão de 0,005.

Exercícios relacionados

Seja . Provar que a equação possui uma única raiz real.
Seja . Provar que a equação possui uma única raiz real.
Seja . Localizar a raiz em um intervalo de comprimento 0.5.
Seja . Provar que a equação possui uma única raiz real.