Seja
. Calcular aproximadamente a raiz com precisão 0.005 .
Passo 1
Beleza, a gente tem a função
e precisa encontrar uma raiz dessa função, ou seja, um valor de
que faz
. Para resolver isso, vamos usar o Método da Bissecção, que faz parte dos métodos numéricos em cálculo. Esse método é ótimo para encontrar raízes quando sabemos que a função muda de sinal em um intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar um intervalo inicial onde a função muda de sinal. Isso garante que existe pelo menos uma raiz nesse intervalo, de acordo com o Teorema do Valor Intermediário.
Vamos calcular
para alguns valores de
:
-
Para
: -
Para
:
Vemos que
e
. Como a função muda de negativo para positivo nesse intervalo, sabemos que existe pelo menos uma raiz entre 0 e 1.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Método da Bissecção para encontrar a raiz com a precisão desejada de 0,005. Esse método funciona dividindo o intervalo ao meio repetidamente e selecionando o subintervalo onde ocorre a mudança de sinal.
-
Primeira iteração:
- Intervalo:
- Ponto médio:
- Calculando
: - Como
é negativo e é positivo, a raiz está no intervalo .
- Intervalo:
-
Segunda iteração:
- Intervalo:
- Ponto médio:
- Calculando
: - Como
é positivo e é negativo, a raiz está no intervalo .
- Intervalo:
-
Terceira iteração:
- Intervalo:
- Ponto médio:
- Calculando
: - Como
é positivo e é negativo, a raiz está no intervalo .
- Intervalo:
-
Quarta iteração:
- Intervalo:
- Ponto médio:
- Calculando
: - Como
é positivo e é negativo, a raiz está no intervalo .
- Intervalo:
-
Quinta iteração:
- Intervalo:
- Ponto médio:
- Calculando
: - Como
é positivo e é negativo, a raiz está no intervalo .
- Intervalo:
-
Sexta iteração:
- Intervalo:
- Ponto médio:
- Calculando
: - Como
é negativo e é positivo, a raiz está no intervalo .
- Intervalo:
Resposta
A raiz da função
está aproximadamente em
com uma precisão de 0,005.
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possui uma única raiz real.
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possui uma única raiz real.