Seja e .
Calcule .

Passo 1

Entendendo o Problema e os Conceitos Envolvidos
Vamos resolver o exercício que pede para calcular , onde é a função inversa de . Para isso, precisamos entender alguns conceitos básicos:
  • Função Inversa: Se é a inversa de , então e .
  • Derivada da Função Inversa: A derivada da função inversa pode ser encontrada usando a fórmula
Vamos seguir esses passos para encontrar .

Passo 2

Encontrando o Valor de
Primeiro, precisamos descobrir o valor de . Lembre-se que é a função inversa de , então:
Ou seja, precisamos encontrar o valor de tal que .
Vamos resolver a equação:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Fatorando:
As soluções são ou . Como estamos trabalhando com números reais, a única solução válida é .
Portanto:

Passo 3

Calculando a Derivada de
Para utilizar a fórmula da derivada da função inversa, precisamos encontrar .
Dada a função:
a derivada é:

Passo 4

Aplicando a Fórmula da Derivada da Função Inversa
Agora que temos e , podemos usar a fórmula da derivada da função inversa:
Substituindo :
Sabemos que , então:

Passo 5

Calculando e Finalizando o Cálculo
Vamos calcular :
Substituindo de volta na fórmula:

Resposta

.

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, onde é uma constante
Calcule a derivada das seguintes funções: