Seja
e
.
Calcule
.
Calcule
Passo 1
Entendendo o Problema e os Conceitos Envolvidos
Vamos resolver o exercício que pede para calcular
, onde
é a função inversa de
. Para isso, precisamos entender alguns conceitos básicos:
- Função Inversa: Se
é a inversa de , então e . - Derivada da Função Inversa: A derivada da função inversa pode ser encontrada usando a fórmula
Vamos seguir esses passos para encontrar
.
Passo 2
Encontrando o Valor de
Primeiro, precisamos descobrir o valor de
. Lembre-se que
é a função inversa de
, então:
Ou seja, precisamos encontrar o valor de
tal que
.
Vamos resolver a equação:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Fatorando:
As soluções são
ou
. Como estamos trabalhando com números reais, a única solução válida é
.
Portanto:
Passo 3
Calculando a Derivada de
Para utilizar a fórmula da derivada da função inversa, precisamos encontrar
.
Dada a função:
a derivada é:
Passo 4
Aplicando a Fórmula da Derivada da Função Inversa
Agora que temos
e
, podemos usar a fórmula da derivada da função inversa:
Substituindo
:
Sabemos que
, então:
Passo 5
Calculando
e Finalizando o Cálculo
Vamos calcular
:
Substituindo de volta na fórmula:
Resposta
Exercícios relacionados
Ache a equação da reta tangente a
no ponto
:
Calcule a derivada das seguintes funções:
Calcule a derivada das seguintes funções, usando a regra da cadeia:
, onde
é uma constante
Calcule a derivada das seguintes funções: