Seja . Provar que a equação possui uma única raiz real.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e precisa provar que a equação tem apenas uma raiz real. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas e análise de funções. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ter uma única raiz real. Isso quer dizer que, no gráfico da função , ela corta o eixo x em apenas um ponto. Para mostrar isso, vamos analisar o comportamento da função e sua derivada.

Passo 3

Vamos começar calculando a derivada de , que nos ajuda a entender onde a função está aumentando ou diminuindo. A derivada de é:
Isso porque:
  • A derivada de é
  • A derivada de é 0
  • A derivada de é
  • A derivada de é

Passo 4

Agora, vamos analisar onde a derivada é positiva ou negativa. Se conseguirmos mostrar que é sempre negativo ou sempre positivo, isso significa que é estritamente decrescente ou crescente, o que garante que ela só cruza o eixo x uma vez.

Passo 5

Observando , vemos que para valores de próximos a 0, . Então, . Para , o termo dominante é , o que sugere que é negativa.

Passo 6

Além disso, para valores maiores de , o termo cresce mais rápido que os outros termos, mas com o sinal negativo devido ao e . Isso indica que a derivada continua negativa, reforçando que é estritamente decrescente.

Passo 7

Como é estritamente decrescente, ela não pode ter mais de uma interseção com o eixo x. E já sabemos que ela cruza o eixo x em algum ponto (por exemplo, próximo a ), então concluímos que existe exatamente uma única raiz real.

Resposta

A equação possui uma única raiz real.

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