Seja
. Provar que a equação
possui uma única raiz real.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função
e precisa provar que a equação
tem apenas uma raiz real. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas e análise de funções. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ter uma única raiz real. Isso quer dizer que, no gráfico da função
, ela corta o eixo x em apenas um ponto. Para mostrar isso, vamos analisar o comportamento da função e sua derivada.
Passo 3
Vamos começar calculando a derivada de
, que nos ajuda a entender onde a função está aumentando ou diminuindo. A derivada de
é:
Isso porque:
- A derivada de
é - A derivada de
é 0 - A derivada de
é - A derivada de
é
Passo 4
Agora, vamos analisar onde a derivada
é positiva ou negativa. Se conseguirmos mostrar que
é sempre negativo ou sempre positivo, isso significa que
é estritamente decrescente ou crescente, o que garante que ela só cruza o eixo x uma vez.
Passo 5
Observando
, vemos que para valores de
próximos a 0,
. Então,
. Para
, o termo dominante é
, o que sugere que
é negativa.
Passo 6
Além disso, para valores maiores de
, o termo
cresce mais rápido que os outros termos, mas com o sinal negativo devido ao
e
. Isso indica que a derivada continua negativa, reforçando que
é estritamente decrescente.
Passo 7
Como
é estritamente decrescente, ela não pode ter mais de uma interseção com o eixo x. E já sabemos que ela cruza o eixo x em algum ponto (por exemplo, próximo a
), então concluímos que existe exatamente uma única raiz real.
Resposta
A equação
possui uma única raiz real.
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Seja
. Localizar a raiz em um intervalo de comprimento 0.5.
Seja
. Calcular aproximadamente a raiz com precisão 0.005 .
Seja
. Provar que a equação
possui uma única raiz real.
Seja
. Localizar uma das raiz em um intervalo de comprimento 0.5.