Seja
. Localizar a raiz em um intervalo de comprimento 0.5.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
e a parada é encontrar um intervalo onde essa função tem uma raiz, ou seja, onde
. A gente vai usar o Teorema do Valor Intermediário, que garante que se a função muda de sinal em um intervalo, então tem pelo menos uma raiz nesse intervalo. A gente vai precisar calcular alguns valores da função para ver onde ela muda de sinal.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher um ponto inicial para começar a testar. Que tal começar em
? Calculando:
Então,
.
Passo 3
Agora, vamos escolher um ponto a uma distância de 0.5, ou seja,
. Calculando:
Sabemos que
é aproximadamente 0.8775 e
.
Então:
Então:
Portanto,
.
Passo 4
Vemos que de
para
, a função continua positiva (de 1 para aproximadamente 0.7525). Não houve mudança de sinal, então não temos certeza de que há uma raiz aqui. Vamos tentar outro intervalo.
Passo 5
Vamos agora para
. Calculando:
Sabemos que
é aproximadamente 0.5403 e
.
Então:
Então:
Portanto,
.
Passo 6
Ainda está positivo, então vamos para
. Calculando:
Sabemos que
é aproximadamente 0.0707 e
.
Então:
Então:
Portanto,
.
Passo 7
Agora, entre
e
, a função muda de positivo para negativo (
e
). Pelo Teorema do Valor Intermediário, tem uma raiz nesse intervalo. O comprimento desse intervalo é 0.5, que é exatamente o que a gente queria.
Resposta
A raiz da função
está no intervalo
.
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. Calcular aproximadamente a raiz com precisão 0.005 .
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possui uma única raiz real.
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