Seja . Localizar a raiz em um intervalo de comprimento 0.5.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e a parada é encontrar um intervalo onde essa função tem uma raiz, ou seja, onde . A gente vai usar o Teorema do Valor Intermediário, que garante que se a função muda de sinal em um intervalo, então tem pelo menos uma raiz nesse intervalo. A gente vai precisar calcular alguns valores da função para ver onde ela muda de sinal.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher um ponto inicial para começar a testar. Que tal começar em ? Calculando:
Então, .

Passo 3

Agora, vamos escolher um ponto a uma distância de 0.5, ou seja, . Calculando:
Sabemos que é aproximadamente 0.8775 e .
Então:
Portanto, .

Passo 4

Vemos que de para , a função continua positiva (de 1 para aproximadamente 0.7525). Não houve mudança de sinal, então não temos certeza de que há uma raiz aqui. Vamos tentar outro intervalo.

Passo 5

Vamos agora para . Calculando:
Sabemos que é aproximadamente 0.5403 e .
Então:
Portanto, .

Passo 6

Ainda está positivo, então vamos para . Calculando:
Sabemos que é aproximadamente 0.0707 e .
Então:
Portanto, .

Passo 7

Agora, entre e , a função muda de positivo para negativo ( e ). Pelo Teorema do Valor Intermediário, tem uma raiz nesse intervalo. O comprimento desse intervalo é 0.5, que é exatamente o que a gente queria.

Resposta

A raiz da função está no intervalo .

Exercícios relacionados

Seja . Calcular aproximadamente a raiz com precisão 0.005 .
Seja . Provar que a equação possui uma única raiz real.
Seja . Provar que a equação possui uma única raiz real.
Seja . Provar que a equação possui uma única raiz real.