Seja f(x) = { -x + 3 se x < 3, x - 3 se x ≥ 3 }
f é contínua em 3 ? Por quê?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma função definida por partes e nos pergunta se ela é contínua em . Isso está ligado ao estudo de continuidade de funções, especialmente no ponto onde a função muda de uma expressão para outra. Para resolver, vamos precisar entender os limites laterais e o valor da função nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Basicamente, a função é contínua em se três condições forem verdadeiras:
  1. A função está definida em .
  2. O limite da função quando se aproxima de existe.
  3. O limite é igual ao valor da função em .

Passo 3

Vamos verificar cada uma dessas condições para .
1. A função está definida em 3?
Sim, olhando a definição de :
Então, existe e vale 0.

Passo 4

2. O limite da função quando se aproxima de 3 existe?
Para isso, precisamos calcular o limite pela esquerda ( ) e o limite pela direita ( ).
Limite pela esquerda ( ):
Quando , .
Então:
Limite pela direita ( ):
Quando , .
Então:
Como os dois limites laterais são iguais ( ), o limite geral existe e é 0.

Passo 5

3. O limite é igual ao valor da função em 3?
Já vimos que:
E:
Como os dois são iguais, essa condição também é satisfeita.

Resposta

Sim, a função é contínua em , porque o limite quando se aproxima de 3 existe e é igual ao valor da função nesse ponto.

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