Seja
é contínua em 3 ? Por quê?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma função definida por partes e nos pergunta se ela é contínua em
. Isso está ligado ao estudo de continuidade de funções, especialmente no ponto onde a função muda de uma expressão para outra. Para resolver, vamos precisar entender os limites laterais e o valor da função nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Basicamente, a função é contínua em
se três condições forem verdadeiras:
- A função está definida em
. - O limite da função quando
se aproxima de existe. - O limite é igual ao valor da função em
.
Passo 3
Vamos verificar cada uma dessas condições para
.
1. A função está definida em 3?
Sim, olhando a definição de :
Sim, olhando a definição de
Então,
existe e vale 0.
Passo 4
2. O limite da função quando
se aproxima de 3 existe?
Para isso, precisamos calcular o limite pela esquerda (
) e o limite pela direita (
).
Limite pela esquerda (
):
Quando ,
.
Então:
Quando
Então:
Limite pela direita (
):
Quando ,
.
Então:
Quando
Então:
Como os dois limites laterais são iguais (
), o limite geral existe e é 0.
Passo 5
3. O limite é igual ao valor da função em 3?
Já vimos que:
E:
Como os dois são iguais, essa condição também é satisfeita.
Resposta
Sim, a função
é contínua em
, porque o limite quando
se aproxima de 3 existe e é igual ao valor da função nesse ponto.
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.
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