Seja f(x) = { -x + 3 se x < 3, x - 3 se x ≥ 3 }
f é derivável em 3 ? Por quê?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício que pergunta se a função é derivável em . A função está definida por partes:
Vamos usar conceitos de cálculo diferencial para descobrir se essa função tem derivada em .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser derivável em um ponto. Uma função é derivável em se o limite da taxa de variação (derivada) existe nesse ponto. Isso geralmente significa que a função é suave ali, sem cantos ou saltos.
Para funções definidas por partes, como a nossa, a derivabilidade em um ponto de junção (nesse caso, ) depende de dois fatores principais:
  1. Continuidade: A função precisa ser contínua em .
  2. Derivadas laterais iguais: As derivadas vindas da esquerda e da direita de devem ser iguais.

Passo 3

Vamos verificar a continuidade em .
Calculando o limite quando se aproxima de 3 pela esquerda ( ):
Calculando o limite quando se aproxima de 3 pela direita ( ):
Como os limites pela esquerda e pela direita são iguais e iguais ao valor da função em ( ), a função é contínua em .

Passo 4

Agora, vamos verificar as derivadas laterais em .
Primeiro, para :
Então, a derivada pela esquerda ( ) é .
Para :
Assim, a derivada pela direita ( ) é .

Passo 5

Vamos comparar as derivadas laterais:
Como , as derivadas pela esquerda e pela direita são diferentes.

Resposta

Não, a função não é derivável em porque as derivadas pelas laterais são diferentes ( pela esquerda e pela direita).

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Suponhamos que o óleo derramado através da ruptura de um navio-tanque se espalhe em uma forma circular de raio r.
© Se a área cresce a uma velocidade constante de 10 metros quadrados por minuto, com que velocidade o raio do derramamento está crescendo quando a área do derramamento for de 25 metros quadrados?