Seja
é derivável em 3 ? Por quê?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício que pergunta se a função
é derivável em
. A função está definida por partes:
Vamos usar conceitos de cálculo diferencial para descobrir se essa função tem derivada em
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser derivável em um ponto. Uma função é derivável em
se o limite da taxa de variação (derivada) existe nesse ponto. Isso geralmente significa que a função é suave ali, sem cantos ou saltos.
Para funções definidas por partes, como a nossa, a derivabilidade em um ponto de junção (nesse caso,
) depende de dois fatores principais:
- Continuidade: A função precisa ser contínua em
. - Derivadas laterais iguais: As derivadas vindas da esquerda e da direita de
devem ser iguais.
Passo 3
Vamos verificar a continuidade em
.
Calculando o limite quando
se aproxima de 3 pela esquerda (
):
Calculando o limite quando
se aproxima de 3 pela direita (
):
Como os limites pela esquerda e pela direita são iguais e iguais ao valor da função em
(
), a função é contínua em
.
Passo 4
Agora, vamos verificar as derivadas laterais em
.
Primeiro, para
:
Então, a derivada pela esquerda (
) é
.
Para
:
Assim, a derivada pela direita (
) é
.
Passo 5
Vamos comparar as derivadas laterais:
Como
, as derivadas pela esquerda e pela direita são diferentes.
Resposta
Não, a função
não é derivável em
porque as derivadas pelas laterais são diferentes (
pela esquerda e
pela direita).
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