Seja f(x) = { x^2 se x <= 0, -x^2 se x > 0 }
f é derivável em 0 ? Por quê?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A questão define uma função que muda a regra dependendo se é maior ou menor que zero. Queremos descobrir se essa função é derivável em . Para isso, vamos usar conceitos de derivadas e limites. Precisamos verificar se a derivada, ou seja, a taxa de variação de , existe exatamente em .

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função é contínua em . Uma função precisa ser contínua nesse ponto para ser derivável. Olhando para :
Vamos calcular :
Agora, calculamos os limites quando se aproxima de 0 pela esquerda e pela direita:
Como os limites laterais são iguais a , a função é contínua em .

Passo 3

Agora que sabemos que é contínua em , vamos verificar a derivabilidade. Para a função ser derivável em , as derivadas laterais (pela esquerda e pela direita) devem existir e ser iguais.
Primeiro, calculamos a derivada pela esquerda ( ):
Agora, a derivada pela direita ( ):

Passo 4

Com as derivadas laterais calculadas, comparamos os valores:
Como ambas as derivadas laterais são iguais, a derivada em existe.

Resposta

Sim, é derivável em e a derivada é .

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f é derivável em 3 ? Por quê?