Seja
é derivável em 0 ? Por quê?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A questão define uma função
que muda a regra dependendo se
é maior ou menor que zero. Queremos descobrir se essa função é derivável em
. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas e limites. Precisamos verificar se a derivada, ou seja, a taxa de variação de
, existe exatamente em
.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a função
é contínua em
. Uma função precisa ser contínua nesse ponto para ser derivável. Olhando para
:
Vamos calcular
:
Agora, calculamos os limites quando
se aproxima de 0 pela esquerda e pela direita:
Como os limites laterais são iguais a
, a função é contínua em
.
Passo 3
Agora que sabemos que
é contínua em
, vamos verificar a derivabilidade. Para a função ser derivável em
, as derivadas laterais (pela esquerda e pela direita) devem existir e ser iguais.
Primeiro, calculamos a derivada pela esquerda (
):
Agora, a derivada pela direita (
):
Passo 4
Com as derivadas laterais calculadas, comparamos os valores:
Como ambas as derivadas laterais são iguais, a derivada em
existe.
Resposta
Sim,
é derivável em
e a derivada é
.
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