Seja f(x) = { x^2 se x <= 0, -x^2 se x > 0 }
f é contínua em 0 ? Por quê?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a função é contínua em . A matéria envolvida aqui é continuidade de funções, e para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua em um ponto e como calcular os limites laterais.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto se três condições forem satisfeitas:
  1. A função está definida em (ou seja, existe).
  2. O limite de quando tende a existe.
  3. O limite de quando tende a é igual a .
No nosso caso, queremos saber se é contínua em .

Passo 3

Vamos verificar a primeira condição: a função está definida em ?
Sim, . Então, existe.

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite de quando tende a . Para isso, precisamos calcular os limites laterais, ou seja, o limite pela esquerda ( ) e o limite pela direita ( ).

Passo 5

Calculando o limite pela esquerda ( ):
Quando , . Então,

Passo 6

Calculando o limite pela direita ( ):
Quando , . Então,

Passo 7

Os dois limites laterais são iguais: . Portanto, o limite de quando tende a é .

Passo 8

Agora, verificamos a terceira condição: o limite de quando tende a é igual a ?
Sim, .

Resposta

Sim, a função é contínua em , porque o limite de quando tende a existe e é igual a .

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