Seja
é derivável em
? Em caso afirmativo, calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá uma função definida por partes:
A pergunta é: essa função é derivável em
? E se for, qual é
?
Para resolver isso, vamos precisar entender sobre derivabilidade, continuidade e como calcular derivadas de funções definidas por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a função é contínua em
. Isso é importante porque, para uma função ser derivável em um ponto, ela primeiro precisa ser contínua nesse ponto.
Então, calculamos o limite de
quando
se aproxima de 0 pela direita e pela esquerda, e comparamos com o valor de
.
Passo 3
Vamos calcular o valor de
:
Agora, o limite quando
se aproxima de 0 pela direita (
):
E o limite quando
se aproxima de 0 pela esquerda (
):
Como os dois limites são iguais ao valor de
, a função é contínua em
.
Passo 4
Agora que sabemos que
é contínua em
, vamos verificar a derivabilidade. Para isso, precisamos calcular a derivada pela direita e pela esquerda em
e ver se elas são iguais.
A derivada pela direita (
) de
é:
A derivada pela esquerda (
) de
é:
Primeiro, derivamos
:
Então, avaliamos em
:
Resposta
Como as derivadas pela direita e pela esquerda em
são iguais (ambas zero) e a função é contínua nesse ponto, concluímos que
é derivável em
e: