Seja f(x) = { 2 se x ≥ 0, x² + 2 se x < 0 }
f é derivável em p = 0 ? Em caso afirmativo, calcule f'(0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá uma função definida por partes:
A pergunta é: essa função é derivável em ? E se for, qual é ?
Para resolver isso, vamos precisar entender sobre derivabilidade, continuidade e como calcular derivadas de funções definidas por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função é contínua em . Isso é importante porque, para uma função ser derivável em um ponto, ela primeiro precisa ser contínua nesse ponto.
Então, calculamos o limite de quando se aproxima de 0 pela direita e pela esquerda, e comparamos com o valor de .

Passo 3

Vamos calcular o valor de :
á
Agora, o limite quando se aproxima de 0 pela direita ( ):
E o limite quando se aproxima de 0 pela esquerda ( ):
Como os dois limites são iguais ao valor de , a função é contínua em .

Passo 4

Agora que sabemos que é contínua em , vamos verificar a derivabilidade. Para isso, precisamos calcular a derivada pela direita e pela esquerda em e ver se elas são iguais.
A derivada pela direita ( ) de é:
A derivada pela esquerda ( ) de é:
Primeiro, derivamos :
Então, avaliamos em :

Resposta

Como as derivadas pela direita e pela esquerda em são iguais (ambas zero) e a função é contínua nesse ponto, concluímos que é derivável em e:

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