Seja f(x) = { x + 1 se x < 2, 1 se x ≥ 2 }
f é derivável em 2? Por quê?

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma função definida por partes:
A questão nos pergunta se a função é derivável em . Para resolver isso, vamos precisar saber o que significa uma função ser derivável em um ponto e como verificar isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função é derivável em um ponto se a derivada existe naquele ponto. Isso implica que a função deve ser contínua nesse ponto e que as derivadas laterais (pela esquerda e pela direita) devem existir e ser iguais.

Passo 3

Vamos verificar se a função é contínua em . Para isso, precisamos calcular o limite de quando se aproxima de 2 pela esquerda ( ) e pela direita ( ), e comparar com o valor de .

Passo 4

Calculando o limite pela esquerda ( ):
Calculando o limite pela direita ( ):

Passo 5

Como os limites laterais são diferentes ( pela esquerda e pela direita), a função não é contínua em . Uma função que não é contínua em um ponto não pode ser derivável nesse ponto.

Resposta

A função não é derivável em porque não é contínua nesse ponto.

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