Seja
é derivável em 2? Por quê?
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma função definida por partes:
A questão nos pergunta se a função
é derivável em
. Para resolver isso, vamos precisar saber o que significa uma função ser derivável em um ponto e como verificar isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma função é derivável em um ponto se a derivada existe naquele ponto. Isso implica que a função deve ser contínua nesse ponto e que as derivadas laterais (pela esquerda e pela direita) devem existir e ser iguais.
Passo 3
Vamos verificar se a função
é contínua em
. Para isso, precisamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 2 pela esquerda (
) e pela direita (
), e comparar com o valor de
.
Passo 4
Calculando o limite pela esquerda (
):
Calculando o limite pela direita (
):
Passo 5
Como os limites laterais são diferentes (
pela esquerda e
pela direita), a função
não é contínua em
. Uma função que não é contínua em um ponto não pode ser derivável nesse ponto.
Resposta
A função
não é derivável em
porque não é contínua nesse ponto.