Seja
f é derivável em 2? Por que?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pergunta se a função
definida por:
é derivável em
. Vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente sobre derivabilidade e continuidade, para descobrir isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa uma função ser derivável em um ponto. Uma função é derivável em um ponto se ela tiver uma derivada nesse ponto, ou seja, se a inclinação da tangente à função nesse ponto existir. Mas, para que isso aconteça, a função também precisa ser contínua nesse ponto.
Passo 3
Então, o primeiro passo é verificar se a função
é contínua em
. Para ser contínua, o limite da função quando
se aproxima de 2 pela esquerda deve ser igual ao limite quando
se aproxima de 2 pela direita, e ambos devem ser iguais ao valor da função em
.
Passo 4
Vamos calcular o limite quando
se aproxima de 2 pela esquerda (
):
Agora, o limite quando
se aproxima de 2 pela direita (
):
E o valor da função em
é:
Passo 5
Comparando os limites e o valor da função:
Como os limites laterais não são iguais, a função
não é contínua em
.
Passo 6
Já que a função não é contínua em
, ela não pode ser derivável nesse ponto. A continuidade é uma condição necessária para a derivabilidade.
Resposta
Não, a função
não é derivável em
porque ela não é contínua nesse ponto.
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Determine a derivada.
Calcule
Traçar um esboço do gráfico da equação
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