Seja f é derivável em 2? Por que?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pergunta se a função definida por:
é derivável em . Vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente sobre derivabilidade e continuidade, para descobrir isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa uma função ser derivável em um ponto. Uma função é derivável em um ponto se ela tiver uma derivada nesse ponto, ou seja, se a inclinação da tangente à função nesse ponto existir. Mas, para que isso aconteça, a função também precisa ser contínua nesse ponto.

Passo 3

Então, o primeiro passo é verificar se a função é contínua em . Para ser contínua, o limite da função quando se aproxima de 2 pela esquerda deve ser igual ao limite quando se aproxima de 2 pela direita, e ambos devem ser iguais ao valor da função em .

Passo 4

Vamos calcular o limite quando se aproxima de 2 pela esquerda ( ):
Agora, o limite quando se aproxima de 2 pela direita ( ):
E o valor da função em é:

Passo 5

Comparando os limites e o valor da função:
Como os limites laterais não são iguais, a função não é contínua em .

Passo 6

Já que a função não é contínua em , ela não pode ser derivável nesse ponto. A continuidade é uma condição necessária para a derivabilidade.

Resposta

Não, a função não é derivável em porque ela não é contínua nesse ponto.

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