Seja
f(x) = { x^2 se x <= 1, 2x - 1 se x > 1 }
f é contínua em 1?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem uma função definida por partes:
A questão quer saber se essa função é contínua em . Isso envolve o conceito de continuidade, que basicamente significa que não tem “salto” ou “buraco” no gráfico da função naquele ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Para uma função ser contínua em , precisamos que três condições sejam satisfeitas:
  1. está definido.
  2. O limite de quando se aproxima de existe.
  3. O limite de quando se aproxima de é igual a .
Vamos aplicar isso no nosso caso, onde .

Passo 3

1. Verificar se está definido:
Olha a definição da função. Para , . Como 1 é menor ou igual a 1, temos:
Então, está definido e vale 1.

Passo 4

2. Calcular o limite de quando se aproxima de 1 pela esquerda ( ):
Quando está chegando perto de 1 pela esquerda, estamos na parte da função onde . Então:

Passo 5

3. Calcular o limite de quando se aproxima de 1 pela direita ( ):
Quando está chegando perto de 1 pela direita, usamos a outra parte da função, onde . Assim:

Passo 6

4. Comparar os limites e verificar se são iguais a :
Vimos que:
Como os limites laterais são iguais entre si e iguais ao valor da função em 1, todas as condições para continuidade são satisfeitas.

Resposta

Sim, a função é contínua em .

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