Seja
é contínua em 1?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem uma função definida por partes:
A questão quer saber se essa função é contínua em
. Isso envolve o conceito de continuidade, que basicamente significa que não tem “salto” ou “buraco” no gráfico da função naquele ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Para uma função
ser contínua em
, precisamos que três condições sejam satisfeitas:
-
está definido. - O limite de
quando se aproxima de existe. - O limite de
quando se aproxima de é igual a .
Vamos aplicar isso no nosso caso, onde
.
Passo 3
1. Verificar se
está definido:
Olha a definição da função. Para
,
. Como 1 é menor ou igual a 1, temos:
Então,
está definido e vale 1.
Passo 4
2. Calcular o limite de
quando
se aproxima de 1 pela esquerda (
):
Quando
está chegando perto de 1 pela esquerda, estamos na parte da função onde
. Então:
Passo 5
3. Calcular o limite de
quando
se aproxima de 1 pela direita (
):
Quando
está chegando perto de 1 pela direita, usamos a outra parte da função, onde
. Assim:
Passo 6
4. Comparar os limites e verificar se são iguais a
:
Vimos que:
Como os limites laterais são iguais entre si e iguais ao valor da função em 1, todas as condições para continuidade são satisfeitas.
Resposta
Sim, a função
é contínua em
.