Seja
é contínua em 1? Justifique!
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função definida por partes:
A pergunta é:
é contínua em 1? Para resolver isso, vamos precisar saber o que significa uma função ser contínua em um ponto e como verificar isso.
Passo 2
Continuidade em um ponto: Uma função
é contínua em um ponto
se três condições forem satisfeitas:
- A função está definida em
: Ou seja, existe. - O limite existe quando
se aproxima de : existe. - O limite é igual ao valor da função em
: .
Vamos verificar essas três condições para
.
Passo 3
1. A função está definida em 1:
Como
está na condição
, substituímos na primeira parte da função:
Então,
existe e vale 1.
Passo 4
2. O limite quando
se aproxima de 1:
Como a função é definida por duas partes diferentes, precisamos calcular o limite pela esquerda (
se aproximando de 1 por valores menores que 1) e pela direita (
se aproximando de 1 por valores maiores que 1).
- Limite pela esquerda (
):
- Limite pela direita (
):
Como os dois limites laterais são iguais e valem 1, o limite geral é:
Passo 5
3. Comparando o limite com o valor da função em 1:
Como o limite quando
se aproxima de 1 é igual ao valor da função em 1, todas as três condições para continuidade são satisfeitas.
Resposta
Sim, a função
é contínua em
.
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