Seja
é contínua em 1? Justifique!

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função definida por partes:
A pergunta é: é contínua em 1? Para resolver isso, vamos precisar saber o que significa uma função ser contínua em um ponto e como verificar isso.

Passo 2

Continuidade em um ponto: Uma função é contínua em um ponto se três condições forem satisfeitas:
  1. A função está definida em : Ou seja, existe.
  2. O limite existe quando se aproxima de : existe.
  3. O limite é igual ao valor da função em : .
Vamos verificar essas três condições para .

Passo 3

1. A função está definida em 1:
Como está na condição , substituímos na primeira parte da função:
Então, existe e vale 1.

Passo 4

2. O limite quando se aproxima de 1:
Como a função é definida por duas partes diferentes, precisamos calcular o limite pela esquerda ( se aproximando de 1 por valores menores que 1) e pela direita ( se aproximando de 1 por valores maiores que 1).
  • Limite pela esquerda ( ):
  • Limite pela direita ( ):
Como os dois limites laterais são iguais e valem 1, o limite geral é:

Passo 5

3. Comparando o limite com o valor da função em 1:
Como o limite quando se aproxima de 1 é igual ao valor da função em 1, todas as três condições para continuidade são satisfeitas.

Resposta

Sim, a função é contínua em .

Exercícios relacionados

Calcule se
Calcule se
Seja
é diferenciável em 2? Justifique!
O deslocamento (em metros) de um objeto movendo-se ao longo de uma reta é dado por
onde é medido em segundos.
Encontre a velocidade instantânea em .