Seja f(x) = { x^2, x <= 1; 2x - 1, x > 1 }
f é diferenciável em 2? Justifique!

Passo 1

Vamos analisar o exercício: Temos a função definida por partes, onde para , , e para , . O conteúdo envolvido aqui é a diferenciabilidade de funções, especificamente verificando se é diferenciável no ponto . Para isso, precisamos calcular as derivadas das duas partes da função e verificar se elas se igualam em .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada de para . A função nessa parte é . A derivada de em relação a é:
Então, em :

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de para . Nessa parte, a função é . A derivada de em relação a é:
Isso significa que para qualquer , a derivada é constante e igual a 2.

Passo 4

Para a função ser diferenciável em , as derivadas pela esquerda e pela direita desse ponto devem ser iguais. Já vimos que:
  • Derivada pela esquerda (quando ):
  • Derivada pela direita (quando ):
Como ambas as derivadas são iguais, podemos concluir que a função é diferenciável em .

Resposta

Sim, a função é diferenciável em , já que as derivadas pelas partes esquerda e direita são iguais a 2.

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