Seja
é diferenciável em 2? Justifique!
Passo 1
Vamos analisar o exercício: Temos a função
definida por partes, onde para
,
, e para
,
. O conteúdo envolvido aqui é a diferenciabilidade de funções, especificamente verificando se
é diferenciável no ponto
. Para isso, precisamos calcular as derivadas das duas partes da função e verificar se elas se igualam em
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada de
para
. A função nessa parte é
. A derivada de
em relação a
é:
Então, em
:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada de
para
. Nessa parte, a função é
. A derivada de
em relação a
é:
Isso significa que para qualquer
, a derivada é constante e igual a 2.
Passo 4
Para a função ser diferenciável em
, as derivadas pela esquerda e pela direita desse ponto devem ser iguais. Já vimos que:
- Derivada pela esquerda (quando
): - Derivada pela direita (quando
):
Como ambas as derivadas são iguais, podemos concluir que a função
é diferenciável em
.
Resposta
Sim, a função
é diferenciável em
, já que as derivadas pelas partes esquerda e direita são iguais a 2.
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e
, se