Seja
uma função derivável e considere
. Sabendo que
é positiva e decrescente no intervalo
, o que sabemos sobre
?
(A)
é negativa e crescente no intervalo
.
(B)
é positiva e crescente no intervalo
.
©
é positiva e decrescente no intervalo
.
(D)
é negativa e decrescente no intervalo
.
(E)
atinge um valor máximo em
.
(A)
(B)
©
(D)
(E)
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função
que é derivável, positiva e decrescente no intervalo
. A função em questão é
. Nosso objetivo é descobrir se
é positiva ou negativa e se está crescendo ou decrescendo nesse intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o sinal de
. Sabemos que
é positiva, ou seja,
. Agora, olhemos para o denominador
. Para
, a raiz quadrada de
é maior que 1, então
será negativo. Portanto, temos uma divisão de um número positivo por um número negativo:
Então,
é negativa no intervalo
.
Passo 3
Agora, vamos analisar se
está crescendo ou decrescendo. Para isso, precisamos calcular a derivada de
:
Vamos usar a regra do quociente para derivadas:
Simplificando:
Sabemos que
é decrescente, então
. O termo
é negativo,
é positivo, e
é positivo. Portanto, a derivada
será negativa, indicando que
está decrescendo.
Resposta
(D)
é negativa e decrescente no intervalo
.