Seja f(x) uma função derivável e considere h(x) = f(x) / (1 - raiz(x)). Sabendo que f(x) é positiva e decrescente no intervalo (1, infinito), o que sabemos sobre h(x) ?
(A) h(x) é negativa e crescente no intervalo (1, infinito).
(B) h(x) é positiva e crescente no intervalo (1, infinito).
© h(x) é positiva e decrescente no intervalo (1, infinito).
(D) h(x) é negativa e decrescente no intervalo (1, infinito).
(E) h(x) atinge um valor máximo em (1, infinito).

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função que é derivável, positiva e decrescente no intervalo . A função em questão é . Nosso objetivo é descobrir se é positiva ou negativa e se está crescendo ou decrescendo nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o sinal de . Sabemos que é positiva, ou seja, . Agora, olhemos para o denominador . Para , a raiz quadrada de é maior que 1, então será negativo. Portanto, temos uma divisão de um número positivo por um número negativo:
Então, é negativa no intervalo .

Passo 3

Agora, vamos analisar se está crescendo ou decrescendo. Para isso, precisamos calcular a derivada de :
Vamos usar a regra do quociente para derivadas:
Simplificando:
Sabemos que é decrescente, então . O termo é negativo, é positivo, e é positivo. Portanto, a derivada será negativa, indicando que está decrescendo.

Resposta

(D) é negativa e decrescente no intervalo .

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