Seja a função f(x) representada pelo gráfico abaixo. Assinale a única alternativa onde todas as afirmações são verdadeiras.
(A) lim x 3^- f(x)=-2 ; f^prime(2)>f^prime(4).
(B) lim x 3 f(x)=2 ; f^prime(x)<0 para x>3.
© f^prime(x) é constante para x<3 ; f(3)=-2.
(D) f^prime(x)=0 para x<3 ; lim x 3^+ f(x)=2.
(E) f(3)=2 ; f^prime(x)>0 para x>3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para analisar uma função a partir do seu gráfico e verificar qual das alternativas apresenta todas as afirmações corretas. Vamos precisar entender conceitos como limite, derivada e comportamento da função em determinados pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender cada afirmação de cada alternativa:
Alternativa (A):
limx 3^- f(x) = -2; f^prime(2) > f^prime(4)
Aqui, estamos falando do limite da função quando limx 3 f(x) = 2; f^prime(x) < 0 para x > 3 se aproxima de 3 pela esquerda e comparando as derivadas em f^prime(x) é constante para x < 3; f(3) = -2 e f^prime(x) = 0 para x < 3; limx 3^+ f(x) = 2 .
Alternativa (B):
f(3) = 2; f^prime(x) > 0 para x > 3
Nesta, consideramos o limite geral em 3 e o comportamento da derivada após 3.
Alternativa ©:
é
Aqui, dizemos que a derivada é constante antes de 3 e o valor da função em 3.
Alternativa (D):
Esta fala que a derivada é zero antes de 3 e o limite pela direita é 2.
Alternativa (E):
Aqui, temos o valor da função em 3 e a derivada positiva após 3.

Passo 3

Agora, vamos analisar cada uma:
Alternativa (A):
  • Se o limite pela esquerda for -2, precisamos ver se isso combina com o gráfico.
  • Comparar e depende das inclinações no gráfico.
  • Sem o gráfico, difícil confirmar, mas geralmente, menos provável.
Alternativa (B):
  • Se o limite geral em 3 for 2, a função se aproxima desse valor de ambos os lados.
  • para indica que a função está decrescendo após 3.
  • Parece consistente se a função desce após 3.
Alternativa ©:
  • Derivada constante para sugere uma reta com inclinação fixa.
  • precisa corresponder ao gráfico.
  • Pode não ser a melhor opção sem mais informações.
Alternativa (D):
  • para significa que a função é constante antes de 3.
  • O limite pela direita sendo 2 indica que ela se aproxima desse valor de .
  • Também parece coerente.
Alternativa (E):
  • e a derivada positiva após 3 indicam que a função está crescendo depois de 3.
  • Se combinado com o gráfico, pode ser correto.

Passo 4

Considerando que as alternativas (B) e (D) parecem consistentes:
  • Se a função está decrescendo após 3, isso corresponde a para na alternativa (B).
  • Já na alternativa (D), a função sendo constante antes de 3 e alcançando o limite 2 após 3 também faz sentido.
Entretanto, a alternativa (B) afirma que o limite geral em 3 é 2, o que significa que os limites pela esquerda e pela direita são iguais, tornando-a a mais completa e correta.

Resposta

A alternativa correta é a (B).

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