Seja função periódica e contínua por partes. Suponha que sua série de Fourier seja dada por .
a) Qual a série de Fourier de ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar a série de Fourier de uma nova função , sabendo que é uma função -periódica e contínua por partes, e que já temos a série de Fourier de . A matéria aqui é sobre Séries de Fourier, que são uma maneira de representar funções periódicas como uma soma de funções senoidais e cossenoidais. Para resolver isso, vamos precisar entender como multiplicar a série de Fourier de por e simplificar o resultado usando identidades trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a série de Fourier de :
Como queremos encontrar a série de Fourier de , vamos multiplicar a série de por :

Passo 3

Agora, vamos distribuir dentro da soma:
Vamos resolver cada termo separadamente usando identidades trigonométricas.

Passo 4

Primeiro, lembremos da identidade trigonométrica:
E para o produto , usamos:
Vamos aplicar essas identidades nos termos da série.

Passo 5

Aplicando a identidade no termo :
E no termo :

Passo 6

Agora, substituímos de volta na expressão de :
Podemos simplificar reorganizando os termos:

Passo 7

Observando as somas, podemos reindexar os termos para que todas as funções seno e cosseno tenham a forma ou com começando de 0 ou 1. Isso facilita a identificação dos coeficientes na nova série de Fourier.
Após reindexar e rearranjar, a série de Fourier de fica:

Resposta

Portanto, a série de Fourier de é dada por:

Exercícios relacionados

Seja a função periódica dada por para .
a) Mostre que sua série de Fourier é dada por
Seja função -periódica dada por se .
a) Mostre que sua série de Fourier é dada por .
Sejam as funções abaixo:
a) , para .
Verifique se as funções abaixo são pares ou ímpares ou não são nem pares nem ímpares:
a)