Seja
função
periódica e contínua por partes. Suponha que sua série de Fourier seja dada por
.
a) Qual a série de Fourier de
?
a) Qual a série de Fourier de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar a série de Fourier de uma nova função , sabendo que
é uma função
-periódica e contínua por partes, e que já temos a série de Fourier de
. A matéria aqui é sobre Séries de Fourier, que são uma maneira de representar funções periódicas como uma soma de funções senoidais e cossenoidais. Para resolver isso, vamos precisar entender como multiplicar a série de Fourier de
por e simplificar o resultado usando identidades trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a série de Fourier de
:
Como queremos encontrar a série de Fourier de , vamos multiplicar a série de
por :
Passo 3
Agora, vamos distribuir dentro da soma:
Vamos resolver cada termo separadamente usando identidades trigonométricas.
Passo 4
Primeiro, lembremos da identidade trigonométrica:
E para o produto , usamos:
Vamos aplicar essas identidades nos termos da série.
Passo 5
Aplicando a identidade no termo :
E no termo :
Passo 6
Agora, substituímos de volta na expressão de
:
Podemos simplificar reorganizando os termos:
Passo 7
Observando as somas, podemos reindexar os termos para que todas as funções seno e cosseno tenham a forma ou
com
começando de 0 ou 1. Isso facilita a identificação dos coeficientes na nova série de Fourier.
Após reindexar e rearranjar, a série de Fourier de
fica:
Resposta
Portanto, a série de Fourier de é dada por:
Exercícios relacionados
Seja a função
periódica dada por
para
.
a) Mostre que sua série de Fourier é dada por
a) Mostre que sua série de Fourier é dada por
Seja
função
-periódica dada por
se
.
a) Mostre que sua série de Fourier é dada por .
a) Mostre que sua série de Fourier é dada por
Sejam as funções abaixo:
a) , para
.
a)
Verifique se as funções abaixo são pares ou ímpares ou não são nem pares nem ímpares:
a)
a)