Seja f(x) função 2 pi periódica e contínua por partes. Suponha que sua série de Fourier seja dada por Sf(x)=a02+sumn=1^infty an cos n x+bn sen n x.
a) Qual a série de Fourier de g(x)=f(x) sen x ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar a série de Fourier de uma nova função , sabendo que é uma função -periódica e contínua por partes, e que já temos a série de Fourier de . A matéria aqui é sobre Séries de Fourier, que são uma maneira de representar funções periódicas como uma soma de funções senoidais e cossenoidais. Para resolver isso, vamos precisar entender como multiplicar a série de Fourier de por e simplificar o resultado usando identidades trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a série de Fourier de Sf(x) = a02 + sumn=1^infty ( an cos nx + bn sen nx ) :
Como queremos encontrar a série de Fourier de , vamos multiplicar a série de g(x) = f(x) sen x = ( a02 + sumn=1^infty ( an cos nx + bn sen nx ) ) sen x por :

Passo 3

Agora, vamos distribuir dentro da soma:
Vamos resolver cada termo separadamente usando identidades trigonométricas.

Passo 4

Primeiro, lembremos da identidade trigonométrica:
E para o produto , usamos:
Vamos aplicar essas identidades nos termos da série.

Passo 5

Aplicando a identidade no termo :
E no termo :

Passo 6

Agora, substituímos de volta na expressão de g(x) = a02 sen x + sumn=1^infty ( an2 [ sen((n+1)x) + sen((1-n)x) ] + bn2 [ cos((n - 1)x) - cos((n + 1)x) ] ) :
Podemos simplificar reorganizando os termos:

Passo 7

Observando as somas, podemos reindexar os termos para que todas as funções seno e cosseno tenham a forma ou Sg(x) = a02 sen x + sumk=1^infty ( ak-12 sen kx + ak+12 sen kx ) + sumk=0^infty bk+1 - bk-12 cos kx com começando de 0 ou 1. Isso facilita a identificação dos coeficientes na nova série de Fourier.
Após reindexar e rearranjar, a série de Fourier de fica:

Resposta

Portanto, a série de Fourier de é dada por:

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