Sejam as funções abaixo:
a) , para .

Passo 1

Vamos começar entendendo o que foi pedido. Temos a função definida no intervalo de entre e . Vamos explorar alguns aspectos dessa função, como seu gráfico, pontos de máximo e mínimo, e onde ela cruza o eixo .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a função cosseno. A função é uma função trigonométrica que oscila entre -1 e 1. Ela tem um período de , o que significa que ela se repete a cada unidades no eixo .

Passo 3

Agora, vamos analisar a função no intervalo de a :
  • Em :
    Esse é o ponto mais alto da função nesse intervalo.
  • Em :
    Esse é o ponto mais baixo da função nesse intervalo.
  • Ponto onde a função cruza o eixo :
    A função cruza o eixo quando . Isso acontece em:
    Portanto, em , .

Passo 4

Vamos traçar o gráfico da função para visualizar melhor:
  • Começa em .
  • Desce suavemente até cruzar o eixo em .
  • Continua descendo até .
Isso forma uma “onda” suave da função cosseno no intervalo especificado.

Passo 5

Se quisermos calcular a área sob a curva de entre e , usamos a integral definida:
A integral de é , então:
Isso significa que a área positiva acima do eixo e a área negativa abaixo dele se cancelam, resultando em zero.

Resposta

A função definida no intervalo atinge seu valor máximo de 1 em , seu valor mínimo de -1 em , e cruza o eixo em . Além disso, a área total sob a curva nesse intervalo é zero.

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a)
Calcule e verifique sua resposta por derivação.