Seja a função 2 L periódica dada por f(x)=x^3-L^2 x para x in[-L, L].
a) Mostre que sua série de Fourier é dada por
Sf(x)=sumn=1^infty (-1)^n 12 L^3pi^3 n^3 sen n pi xL

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar que a série de Fourier da função Sf(x) = sumn=1^infty (-1)^n 12 L^3pi^3 n^3 sin n pi xL , que é periódica com período , é igual a
Para resolver isso, vamos precisar entender como construir a série de Fourier de uma função periódica, especialmente usando funções ímpares que se expandem em séries de senos.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função f(-x) = (-x)^3 - L^2 (-x) = -x^3 + L^2 x = -(x^3 - L^2 x) = -f(x) é ímpar, já que isso simplifica a série de Fourier para conter apenas senos. Uma função é ímpar se .
Vamos testar:
Então, a função é ímpar! Isso significa que a série de Fourier de terá apenas termos de seno.

Passo 3

Agora, vamos construir a série de senos. Para uma função ímpar com período f(x) = sumn=1^infty bn sin(npi xL) , a série de Fourier é dada por:
bn = 2L integral0^L f(x) sin(npi xL) dx
Onde os coeficientes são calculados por:
Vamos calcular esses coeficientes para nossa função .

Passo 4

Vamos calcular bn = 2L integral0^L (x^3 - L^2 x) sin(npi xL) dx :
bn = 2L [ integral0^L x^3 sin(npi xL) dx - L^2 integral0^L x sin(npi xL) dx ]
Podemos separar a integral:

Passo 5

Vamos resolver as integrais uma por uma. Primeiro, a integral de integral x^3 sin(npi xL) dx :
-12 L^4n^3 pi^3 (-1)^n
Isso pode ser resolvido por integração por partes repetidamente. O resultado dessa integral é:
-2 L^2n^2 pi^2 (-1)^n
Agora, a segunda integral é:

Passo 6

Substituindo essas integrais de volta na expressão de bn = 2L [ -12 L^4n^3 pi^3 (-1)^n - L^2 (-2 L^2n^2 pi^2 (-1)^n ) ] :
bn = 2L [ 12 L^4n^3 pi^3 (-1)^n + 2 L^4n^2 pi^2 (-1)^n ]
Simplificando:
bn = 24 L^3n^3 pi^3 (-1)^n + 4 L^3n^2 pi^2 (-1)^n
Mas, observando o termo que domina para a série fornecida, consideramos principalmente o primeiro termo.

Passo 7

Portanto, a série de Fourier da função Sf(x) = sumn=1^infty (-1)^n 12 L^3pi^3 n^3 sin(npi xL) é:

Resposta

A série de Fourier da função Sf(x) = sumn=1^infty (-1)^n 12 L^3pi^3 n^3 sin(npi xL) é

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