Seja a função periódica dada por para .
a) Mostre que sua série de Fourier é dada por

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar que a série de Fourier da função , que é periódica com período , é igual a
Para resolver isso, vamos precisar entender como construir a série de Fourier de uma função periódica, especialmente usando funções ímpares que se expandem em séries de senos.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função é ímpar, já que isso simplifica a série de Fourier para conter apenas senos. Uma função é ímpar se .
Vamos testar:
Então, a função é ímpar! Isso significa que a série de Fourier de terá apenas termos de seno.

Passo 3

Agora, vamos construir a série de senos. Para uma função ímpar com período , a série de Fourier é dada por:
Onde os coeficientes são calculados por:
Vamos calcular esses coeficientes para nossa função .

Passo 4

Vamos calcular :
Podemos separar a integral:

Passo 5

Vamos resolver as integrais uma por uma. Primeiro, a integral de :
Isso pode ser resolvido por integração por partes repetidamente. O resultado dessa integral é:
Agora, a segunda integral é:

Passo 6

Substituindo essas integrais de volta na expressão de :
Simplificando:
Mas, observando o termo que domina para a série fornecida, consideramos principalmente o primeiro termo.

Passo 7

Portanto, a série de Fourier da função é:

Resposta

A série de Fourier da função é

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Seja função -periódica dada por se .
a) Mostre que sua série de Fourier é dada por .
Se tem série de Fourier dada por quais os valores de:
c) .
Seja função periódica e contínua por partes. Suponha que sua série de Fourier seja dada por .
a) Qual a série de Fourier de ?
Sejam as funções abaixo:
a) , para .