Seja a função
periódica dada por
para
.
a) Mostre que sua série de Fourier é dada por
a) Mostre que sua série de Fourier é dada por
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar que a série de Fourier da função
, que é periódica com período
, é igual a
Para resolver isso, vamos precisar entender como construir a série de Fourier de uma função periódica, especialmente usando funções ímpares que se expandem em séries de senos.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a função
é ímpar, já que isso simplifica a série de Fourier para conter apenas senos. Uma função
é ímpar se
.
Vamos testar:
Então, a função é ímpar! Isso significa que a série de Fourier de
terá apenas termos de seno.
Passo 3
Agora, vamos construir a série de senos. Para uma função ímpar com período
, a série de Fourier é dada por:
Onde os coeficientes
são calculados por:
Vamos calcular esses coeficientes para nossa função
.
Passo 4
Vamos calcular
:
Podemos separar a integral:
Passo 5
Vamos resolver as integrais uma por uma. Primeiro, a integral de
:
Isso pode ser resolvido por integração por partes repetidamente. O resultado dessa integral é:
Agora, a segunda integral
é:
Passo 6
Substituindo essas integrais de volta na expressão de
:
Simplificando:
Mas, observando o termo que domina para a série fornecida, consideramos principalmente o primeiro termo.
Passo 7
Portanto, a série de Fourier da função
é:
Resposta
A série de Fourier da função
é
Exercícios relacionados
Seja
função
-periódica dada por
se
.
a) Mostre que sua série de Fourier é dada por .
a) Mostre que sua série de Fourier é dada por
Se
tem série de Fourier dada por
quais os valores de:
c) .
c)
Seja
função
periódica e contínua por partes. Suponha que sua série de Fourier seja dada por
.
a) Qual a série de Fourier de ?
a) Qual a série de Fourier de
Sejam as funções abaixo:
a) , para
.
a)