Seja
.
é diferenciável em
?
é contínua em
?
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por partes:
Precisamos descobrir se essa função é contínua e diferenciável no ponto
. Para isso, vamos usar conceitos de limites, continuidade e derivadas da matéria de Cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a função é contínua em
. Para que a função seja contínua nesse ponto, o limite da função quando
se aproxima de 1 pela esquerda deve ser igual ao limite quando
se aproxima de 1 pela direita, e ambos devem ser iguais ao valor da função em
.
Passo 3
Vamos calcular o limite quando
se aproxima de 1 pela esquerda (
) usando a primeira parte da função:
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite quando
se aproxima de 1 pela direita (
) usando a segunda parte da função:
Passo 5
O valor da função em
é dado por:
Passo 6
Comparando os limites:
- Limite pela esquerda:
- Limite pela direita:
- Valor da função em
:
Como os limites pela esquerda e pela direita são diferentes (
), a função não é contínua em
.
Passo 7
Agora, mesmo que a função não seja contínua em
, vamos verificar a diferenciabilidade. Para a função ser diferenciável em
, ela precisa ser contínua nesse ponto e os limites das derivadas pelas direitas e esquerdas devem ser iguais.
Como já vimos que a função não é contínua em
, automaticamente concluímos que ela não é diferenciável nesse ponto.
Resposta
A função
não é contínua nem diferenciável em
.
Exercícios relacionados
Seja
.
é diferenciável em
?
é contínua em
?
Use a
parte do T.F.C. para calcular a integral, ou explique por que ela não existe:
(g)
(g)
Derive cada função abaixo (se possível, simplifique a função ou derivada)
Derive cada função abaixo (se possível, simplifique a função ou derivada)