Seja f(x) = { -x/2, x < 1; 1/raiz(x), x ≥ 1 }. f é diferenciável em x = 1 ? f é contínua em x = 1 ?

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por partes:
Precisamos descobrir se essa função é contínua e diferenciável no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de limites, continuidade e derivadas da matéria de Cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função é contínua em . Para que a função seja contínua nesse ponto, o limite da função quando se aproxima de 1 pela esquerda deve ser igual ao limite quando se aproxima de 1 pela direita, e ambos devem ser iguais ao valor da função em .

Passo 3

Vamos calcular o limite quando se aproxima de 1 pela esquerda ( ) usando a primeira parte da função:

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite quando se aproxima de 1 pela direita ( ) usando a segunda parte da função:

Passo 5

O valor da função em é dado por:

Passo 6

Comparando os limites:
  • Limite pela esquerda:
  • Limite pela direita:
  • Valor da função em :
Como os limites pela esquerda e pela direita são diferentes ( ), a função não é contínua em .

Passo 7

Agora, mesmo que a função não seja contínua em , vamos verificar a diferenciabilidade. Para a função ser diferenciável em , ela precisa ser contínua nesse ponto e os limites das derivadas pelas direitas e esquerdas devem ser iguais.
Como já vimos que a função não é contínua em , automaticamente concluímos que ela não é diferenciável nesse ponto.

Resposta

A função não é contínua nem diferenciável em .

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