Seja f(x)=llk x-3 & se x <=-1 x^2+k & se x>-1 Determine o valor de k para o qual lim x 1 f(x) existe.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida por partes e precisa descobrir qual valor de faz com que o limite de quando se aproxima de 1 exista. Vamos usar conceitos de limites e funções por partes para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a função f(x) = k x - 3 & se x <= -1 x^2 + k & se x > -1 está definida:
Isso significa que para valores de menores ou iguais a -1, usamos a expressão , e para valores maiores que -1, usamos .

Passo 3

Agora, queremos encontrar o limite de limx to 1 f(x) quando se aproxima de 1:
Como 1 é maior que -1, estamos na segunda parte da função, ou seja, .

Passo 4

Para calcular o limite, simplesmente substituímos limx to 1 (x^2 + k) = 1^2 + k = 1 + k por 1 na expressão :

Passo 5

O limite existe se não houver nenhum tipo de indeterminação ou descontinuidade. Como a expressão é bem definida para qualquer valor de , o limite sempre existe.

Resposta

O valor de pode ser qualquer número real, ou seja, para todo , o limite existe.

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