Seja . Calcule e . Esboce o gráfico de e determine sua imagem.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício apresenta uma função definida por partes, ou seja, o valor de muda dependendo do valor de . A tarefa é calcular e , desenhar o gráfico dessa função e determinar sua imagem (o conjunto de todos os valores que pode assumir). Para isso, vamos precisar entender como funcionam as funções por partes e saber interpretar e aplicar as fórmulas dadas para cada intervalo de .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular . Olhando para a definição da função:
Como , usamos a segunda parte da função:

Passo 3

Agora, vamos calcular . Como , usamos a primeira parte da função:

Passo 4

Vamos desenhar o gráfico de . Para isso, identificamos as duas partes da função:
  1. Para :
Essa é uma parábola que se abre para cima.
  1. Para :
Essa é uma reta com inclinação 1 e intercepto em -1.
Plotando esses dois gráficos no mesmo sistema de coordenadas, lembrando que a transição ocorre em .

Passo 5

Por fim, vamos determinar a imagem de . A imagem é o conjunto de todos os valores possíveis de .
  • Na parte , é uma parábola que atinge seu valor mínimo no vértice. Calculando o vértice:
Substituindo na função:
Então, a parte da parábola nos dá valores de a partir de para cima.
  • Na parte , é uma reta que vai diminuindo sem limite inferior conforme diminui.
Portanto, a imagem de é todos os números reais maiores ou iguais a .

Resposta

, . O gráfico de é composto por uma reta para e uma parábola para . A imagem de é .

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