Seja
. Calcule
e
. Esboce o gráfico de
e determine sua imagem.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício apresenta uma função definida por partes, ou seja, o valor de
muda dependendo do valor de
. A tarefa é calcular
e
, desenhar o gráfico dessa função e determinar sua imagem (o conjunto de todos os valores que
pode assumir). Para isso, vamos precisar entender como funcionam as funções por partes e saber interpretar e aplicar as fórmulas dadas para cada intervalo de
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular
. Olhando para a definição da função:
Como
, usamos a segunda parte da função:
Passo 3
Agora, vamos calcular
. Como
, usamos a primeira parte da função:
Passo 4
Vamos desenhar o gráfico de
. Para isso, identificamos as duas partes da função:
- Para
:
Essa é uma parábola que se abre para cima.
- Para
:
Essa é uma reta com inclinação 1 e intercepto em -1.
Plotando esses dois gráficos no mesmo sistema de coordenadas, lembrando que a transição ocorre em
.
Passo 5
Por fim, vamos determinar a imagem de
. A imagem é o conjunto de todos os valores possíveis de
.
- Na parte
, é uma parábola que atinge seu valor mínimo no vértice. Calculando o vértice:
Substituindo na função:
Então, a parte da parábola nos dá valores de
a partir de
para cima.
- Na parte
, é uma reta que vai diminuindo sem limite inferior conforme diminui.
Portanto, a imagem de
é todos os números reais maiores ou iguais a
.
Resposta
Exercícios relacionados
Determine os valores de
tais que:
Esboce o gráfico de cada função:
Usando as propriedades dos logaritmos simplifique as expressões: