Seja é contínua em 0 ? Justifique.

Passo 1

Vamos resolver um exercício sobre continuidade de funções. O enunciado nos dá uma função definida por partes e pergunta se ela é contínua em . Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua em um ponto e calcular os limites laterais e o valor da função nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade em um ponto. Uma função é contínua em se três condições forem satisfeitas:
  1. está definida.
  2. O limite de quando se aproxima de existe.
  3. O limite de quando se aproxima de é igual a .

Passo 3

Vamos identificar no nosso caso. Precisamos verificar essas três condições para .

Passo 4

Primeiro, calculamos . Pela definição da função:

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite de quando se aproxima de 0 pela esquerda ( ):

Passo 6

Em seguida, calculamos o limite de quando se aproxima de 0 pela direita ( ):

Passo 7

Os limites laterais são iguais e ambos são iguais a :

Resposta

Sim, a função é contínua em porque o limite quando se aproxima de 0 existe e é igual ao valor da função nesse ponto.

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.
Calcule .