Seja
é contínua em 0 ? Justifique.
Passo 1
Vamos resolver um exercício sobre continuidade de funções. O enunciado nos dá uma função definida por partes e pergunta se ela é contínua em
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua em um ponto e calcular os limites laterais e o valor da função nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade em um ponto. Uma função
é contínua em
se três condições forem satisfeitas:
-
está definida. - O limite de
quando se aproxima de existe. - O limite de
quando se aproxima de é igual a .
Passo 3
Vamos identificar
no nosso caso. Precisamos verificar essas três condições para
.
Passo 4
Primeiro, calculamos
. Pela definição da função:
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 0 pela esquerda (
):
Passo 6
Em seguida, calculamos o limite de
quando
se aproxima de 0 pela direita (
):
Passo 7
Os limites laterais são iguais e ambos são iguais a
:
Resposta
Sim, a função
é contínua em
porque o limite quando
se aproxima de 0 existe e é igual ao valor da função nesse ponto.
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Calcule
.