.
Passo 1
Então, a gente tem o seguinte problema: resolver a equação diferencial
com a condição inicial
. Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais, especificamente tentando encontrar a função
que satisfaz essa relação. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de substituição e integração.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação. Vamos colocar todos os termos com
de um lado:
Multiplicando tudo por
, ficamos com:
Agora, para facilitar a resolução, vamos fazer uma substituição. Seja
. Isso significa que
. Precisamos também encontrar a derivada de
em relação a
:
Passo 3
Substituindo
e
na equação original:
Simplificando:
Os termos com
se cancelam:
Ou seja:
Essa é uma equação separável. Podemos reescrever como:
Integrando ambos os lados:
O que resulta em:
Onde
é a constante de integração.
Passo 4
Agora, vamos voltar à variável original
. Lembrando que
, temos:
Resolvendo para
:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Isolando
:
Para encontrar a constante
, usamos a condição inicial
:
Isso confirma que
.
Resposta
A solução da equação diferencial é:
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Seja
é contínua em 0 ? Justifique.
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é derivável em 2? Por quê?
Calcule
.
Calcule
.