-x dy/dx - y = (x * y)^(3/2), y(1) = 4.

Passo 1

Então, a gente tem o seguinte problema: resolver a equação diferencial com a condição inicial . Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais, especificamente tentando encontrar a função y(x) que satisfaz essa relação. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de substituição e integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação. Vamos colocar todos os termos com de um lado:
Multiplicando tudo por -1, ficamos com:
Agora, para facilitar a resolução, vamos fazer uma substituição. Seja . Isso significa que . Precisamos também encontrar a derivada de y em relação a x:

Passo 3

Substituindo y e na equação original:
Simplificando:
Os termos com z se cancelam:
Ou seja:
Essa é uma equação separável. Podemos reescrever como:
Integrando ambos os lados:
O que resulta em:
Onde C é a constante de integração.

Passo 4

Agora, vamos voltar à variável original y. Lembrando que , temos:
Resolvendo para y:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Isolando y:
Para encontrar a constante C, usamos a condição inicial :
Isso confirma que .

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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