Seja
(a)
é derivável em 0? Justifique.
(a)
Passo 1
Vamos entender o que está sendo pedido. Temos uma função
definida de forma diferente dependendo do valor de
. Precisamos descobrir se essa função é derivável em
. Para isso, vamos precisar saber sobre derivadas e como verificar a derivabilidade em um ponto, especialmente quando a função é definida em partes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser derivável em um ponto. Uma função é derivável em
se o limite da taxa de variação da função quando
se aproxima de
existe e é igual pela esquerda e pela direita. Ou seja, as derivadas laterais devem ser iguais.
Passo 3
Vamos calcular a derivada pela esquerda de 0, que chamamos de
. Para
, temos
. A derivada de
é
. Então,
.
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada pela direita de 0, chamada de
. Para
, a função é
. A derivada de
é
. Então,
.
Passo 5
Com as duas derivadas laterais calculadas, vemos que
e
. Como as derivadas pela esquerda e pela direita são iguais, isso indica que a função tem uma derivada em
.
Resposta
Sim, a função
é derivável em
, e a derivada em
é igual a
.
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Seja
(b) é derivável em
? Por quê?
(b)
Um título a vencer no dia 15/06/06 foi descontado no dia 20/04/06. Se o desconto comercial fosse de
e a taxa de juros fosse de
ao ano, qual seria o valor nominal deste título? (Ano Civil)
Calcule o valor dos seguintes limites.
Determine os limites infinitos.