Seja f(x) = { x^2, se x <= 0; -x^2, se x > 0 }
(a) f é derivável em 0? Justifique.

Passo 1

Vamos entender o que está sendo pedido. Temos uma função definida de forma diferente dependendo do valor de . Precisamos descobrir se essa função é derivável em . Para isso, vamos precisar saber sobre derivadas e como verificar a derivabilidade em um ponto, especialmente quando a função é definida em partes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser derivável em um ponto. Uma função é derivável em se o limite da taxa de variação da função quando se aproxima de existe e é igual pela esquerda e pela direita. Ou seja, as derivadas laterais devem ser iguais.

Passo 3

Vamos calcular a derivada pela esquerda de 0, que chamamos de . Para , temos . A derivada de é . Então, .

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada pela direita de 0, chamada de . Para , a função é . A derivada de é . Então, .

Passo 5

Com as duas derivadas laterais calculadas, vemos que e . Como as derivadas pela esquerda e pela direita são iguais, isso indica que a função tem uma derivada em .

Resposta

Sim, a função é derivável em , e a derivada em é igual a .

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