Seja
(b)
é derivável em
? Por quê?
(b)
Passo 1
Beleza, pessoal! Vamos dar uma olhada nesse exercício. Temos uma função definida por partes:
A pergunta é: A função
é derivável em
? Por quê?
Para resolver isso, vamos precisar entender sobre derivadas e condições para uma função ser derivável em um ponto, especialmente em pontos onde a função muda de expressão (como
aqui). Vamos seguir passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa a função ser derivável em um ponto. Uma função é derivável em
se ela tiver uma derivada bem definida nesse ponto, ou seja, se o limite da taxa de variação da função existir e for o mesmo pela esquerda e pela direita de
.
Matematicamente, isso significa que os limites das derivadas laterais (pela esquerda e pela direita) devem ser iguais:
Então, para
, precisamos calcular as derivadas pela esquerda e pela direita de 1 e ver se elas são iguais.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
para
e para
.
Para
:
A derivada de
em relação a
é:
Para
:
A derivada de
em relação a
é:
Passo 4
Agora, vamos avaliar as derivadas laterais em
:
- Derivada pela esquerda (
):
- Derivada pela direita (
):
Passo 5
Comparando as derivadas laterais:
Como as derivadas pela esquerda e pela direita não são iguais, a função
não tem uma derivada bem definida em
.
Resposta
Não, a função
não é derivável em
porque as derivadas laterais em
são diferentes.
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Seja
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