Seja
(b) é derivável em ? Por quê?

Passo 1

Beleza, pessoal! Vamos dar uma olhada nesse exercício. Temos uma função definida por partes:
A pergunta é: A função é derivável em ? Por quê?
Para resolver isso, vamos precisar entender sobre derivadas e condições para uma função ser derivável em um ponto, especialmente em pontos onde a função muda de expressão (como aqui). Vamos seguir passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa a função ser derivável em um ponto. Uma função é derivável em se ela tiver uma derivada bem definida nesse ponto, ou seja, se o limite da taxa de variação da função existir e for o mesmo pela esquerda e pela direita de .
Matematicamente, isso significa que os limites das derivadas laterais (pela esquerda e pela direita) devem ser iguais:
Então, para , precisamos calcular as derivadas pela esquerda e pela direita de 1 e ver se elas são iguais.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de para e para .
Para :
A derivada de em relação a é:
Para :
A derivada de em relação a é:

Passo 4

Agora, vamos avaliar as derivadas laterais em :
  • Derivada pela esquerda ( ):
  • Derivada pela direita ( ):

Passo 5

Comparando as derivadas laterais:
Como as derivadas pela esquerda e pela direita não são iguais, a função não tem uma derivada bem definida em .

Resposta

Não, a função não é derivável em porque as derivadas laterais em são diferentes.

Exercícios relacionados

Um título a vencer no dia 15/06/06 foi descontado no dia 20/04/06. Se o desconto comercial fosse de e a taxa de juros fosse de ao ano, qual seria o valor nominal deste título? (Ano Civil)
Por quanto posso comprar um título com vencimento daqui a 5 meses, se seu valor nominal for de e eu quiser ganhar ao mês (utilizar desconto racional)?
Seja
(a) é derivável em 0? Justifique.
Calcule o valor dos seguintes limites.