Seja e , determine o domínio de e esboce o gráfico de .

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas funções, e . Queremos determinar o domínio da função composta e esboçar o gráfico dessa composição. Para resolver isso, vamos precisar conhecer os conceitos de domínio de funções e como compor funções.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio de . Sabemos que, para uma raiz quadrada ser definida, o que está dentro dela (o radicando) precisa ser maior ou igual a zero. Assim:
Resolvendo essa desigualdade:
Então, o domínio de é todos os números reais maiores ou iguais a 4.

Passo 3

Agora, vamos compor as funções para obter . Isso significa que vamos substituir na função . Então:

Passo 4

Para determinar o domínio de , precisamos garantir que o denominador da fração não seja zero, pois divisão por zero não está definida. Ou seja:
Isso implica que:
Além disso, lembrando que no Passo 2 já vimos que . Então, combinando essas condições, o domínio de é:

Resposta

O domínio da função composta é todos os números reais maiores que 4, ou seja, . O gráfico de é uma curva que decresce à medida que aumenta, começando em e aproximando-se de zero conforme tende ao infinito.

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Verifique que e determine se:
Escreva como composta de duas outras funções: