Verifique que e determine se:

Passo 1

Então, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem duas funções:
A tarefa é:
  1. Verificar se a imagem de (ou seja, todos os possíveis valores que pode assumir) está dentro do domínio de .
  2. Determinar a composição das duas funções, .
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como domínio, imagem e composição de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a imagem de .
Como é uma função linear sem restrições, para qualquer número real que a gente escolher para , a expressão também será um número real. Então, a imagem de é:
Isso significa que pode ser qualquer número real.

Passo 3

Agora, vamos determinar o domínio de .
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. No caso de , a única restrição é que o denominador não pode ser zero, porque divisão por zero não é permitida. Então:
Portanto, o domínio de é:
Isso quer dizer que está definido para todos os números reais, exceto quando .

Passo 4

Agora, vamos verificar se a imagem de está contida no domínio de , ou seja, se:
Sabemos que:
Claramente, não está totalmente contido em porque pode ser 2 quando (já que ). Isso significa que quando , a função não está definida, pois estaríamos dividindo por zero.
Então, a imagem de não está completamente contida no domínio de . Para que a composição esteja bem definida, precisamos excluir do domínio de .

Passo 5

Agora, vamos determinar a composição das funções e , ou seja, .
A composição significa que primeiro aplicamos e depois aplicamos ao resultado. Matematicamente:
Substituindo na expressão de :
Então, a função composta é:

Resposta

A função composta é .

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Seja e , determine o domínio de e esboce o gráfico de .
Determine a inversa das seguintes funções:
Escreva como composta de duas outras funções:
Ache o domínio das seguintes funções: