Verifique que
e determine
se:
Passo 1
Então, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem duas funções:
A tarefa é:
- Verificar se a imagem de
(ou seja, todos os possíveis valores que pode assumir) está dentro do domínio de . - Determinar a composição das duas funções,
.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como domínio, imagem e composição de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a imagem de
.
Como
é uma função linear sem restrições, para qualquer número real que a gente escolher para
, a expressão
também será um número real. Então, a imagem de
é:
Isso significa que
pode ser qualquer número real.
Passo 3
Agora, vamos determinar o domínio de
.
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. No caso de
, a única restrição é que o denominador
não pode ser zero, porque divisão por zero não é permitida. Então:
Portanto, o domínio de
é:
Isso quer dizer que
está definido para todos os números reais, exceto quando
.
Passo 4
Agora, vamos verificar se a imagem de
está contida no domínio de
, ou seja, se:
Sabemos que:
Claramente,
não está totalmente contido em
porque
pode ser 2 quando
(já que
). Isso significa que quando
, a função
não está definida, pois estaríamos dividindo por zero.
Então, a imagem de
não está completamente contida no domínio de
. Para que a composição
esteja bem definida, precisamos excluir
do domínio de
.
Passo 5
Agora, vamos determinar a composição das funções
e
, ou seja,
.
A composição
significa que primeiro aplicamos
e depois aplicamos
ao resultado. Matematicamente:
Substituindo
na expressão de
:
Então, a função composta é:
Resposta
A função composta é
.
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Seja
e
, determine o domínio de
e esboce o gráfico de
.
Determine a inversa das seguintes funções:
Escreva
como composta de duas outras funções:
Ache o domínio das seguintes funções: