Seja X' o conjunto dos pontos de acumulação de X. Dê exemplos de conjuntos X tais que:
a) X e X' são distintos

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar exemplos de conjuntos onde o conjunto dos pontos de acumulação é diferente de próprio. Isso está relacionado ao que aprendemos sobre pontos de acumulação e conjuntos na matemática. Para resolver isso, vamos entender o que são pontos de acumulação e como eles se relacionam com o conjunto original.

Passo 2

Primeiro, pontos de acumulação de um conjunto são aqueles pontos onde, se você pegar qualquer intervalo pequeno ao redor deles, sempre vai ter pontos de dentro desse intervalo, exceto possivelmente o próprio ponto. Em outras palavras, é onde o conjunto “se acumula”.
Agora, se e são diferentes, isso significa que há elementos em que não são pontos de acumulação, ou vice-versa.

Passo 3

Vamos pensar em conjuntos simples. Um bom exemplo para começar é o conjunto dos números naturais . Esse conjunto é bem intuitivo e fácil de analisar em termos de pontos de acumulação.

Passo 4

Vamos identificar os pontos de acumulação de . Para qualquer número natural, se a gente pegar um intervalo ao redor dele, digamos , onde , esse intervalo só contém o número . Não tem outros números naturais nesse intervalo. Portanto, nenhum número natural é um ponto de acumulação de .

Passo 5

Assim, o conjunto dos pontos de acumulação de , ou seja, , é vazio. Portanto, .

Passo 6

Comparando com , vemos que eles são diferentes porque contém todos os números naturais, enquanto não contém nada.

Resposta

Um exemplo é o conjunto dos números naturais . Neste caso, o conjunto dos pontos de acumulação é vazio. Assim, e são distintos.

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