Seja
o conjunto dos pontos de acumulação de
. Dê exemplos de conjuntos
tais que:
a)
e
são distintos
a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar exemplos de conjuntos
onde o conjunto dos pontos de acumulação
é diferente de
próprio. Isso está relacionado ao que aprendemos sobre pontos de acumulação e conjuntos na matemática. Para resolver isso, vamos entender o que são pontos de acumulação e como eles se relacionam com o conjunto original.
Passo 2
Primeiro, pontos de acumulação de um conjunto
são aqueles pontos onde, se você pegar qualquer intervalo pequeno ao redor deles, sempre vai ter pontos de
dentro desse intervalo, exceto possivelmente o próprio ponto. Em outras palavras, é onde o conjunto “se acumula”.
Agora, se
e
são diferentes, isso significa que há elementos em
que não são pontos de acumulação, ou vice-versa.
Passo 3
Vamos pensar em conjuntos simples. Um bom exemplo para começar é o conjunto dos números naturais
. Esse conjunto é bem intuitivo e fácil de analisar em termos de pontos de acumulação.
Passo 4
Vamos identificar os pontos de acumulação de
. Para qualquer número natural, se a gente pegar um intervalo ao redor dele, digamos
, onde
, esse intervalo só contém o número
. Não tem outros números naturais nesse intervalo. Portanto, nenhum número natural é um ponto de acumulação de
.
Passo 5
Assim, o conjunto dos pontos de acumulação de
, ou seja,
, é vazio. Portanto,
.
Passo 6
Comparando
com
, vemos que eles são diferentes porque
contém todos os números naturais, enquanto
não contém nada.
Resposta
Um exemplo é o conjunto dos números naturais
. Neste caso, o conjunto dos pontos de acumulação
é vazio. Assim,
e
são distintos.
Exercícios relacionados
Dê um exemplo
a) Um conjunto com infinitos elementos e sem ponto de acumulação.
a) Um conjunto com infinitos elementos e sem ponto de acumulação.
Verifique que uma solução implícita para a EDO
é dada pela equação
.
Seja
. Sendo a derivada uma taxa de variação, geometricamente qual o valor que você espera para
? Calcule
usando a definição.