Seja
e
. Obtenha uma aproximação
para raíz da equação
portodos os 5 métodos vistos na disciplina de cálculo numérico. Trabalhe com 6 casas decimais e use arredondamento.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
e queremos encontrar uma raiz dessa função no intervalo
. Nosso objetivo é achar um valor
que satisfaça
com uma precisão de
. Para isso, vamos usar cinco métodos diferentes que vimos na disciplina de cálculo numérico. Vamos trabalhar com seis casas decimais e arredondar os resultados.
Passo 2
Primeiro, vamos usar o Método da Bisseção. Esse método é bom porque garante a convergência se a função mudar de sinal no intervalo. A gente começa dividindo o intervalo ao meio e verifica em qual subintervalo a raiz está.
- Calcula
. - Calcula
.
Como os sinais não mudam, parece que precisamos ajustar nosso intervalo. Vamos começar com um intervalo onde
muda de sinal, como
.
Continuamos dividindo até atingir a precisão desejada.
Passo 3
Agora, o Método de Newton-Raphson. Aqui, a gente precisa da derivada da função:
Escolhemos um ponto inicial, digamos
, e aplicamos a fórmula:
Repetimos até que a diferença entre
e
seja menor que
.
Passo 4
Vamos usar o Método da Secante. Esse método é parecido com o de Newton, mas não precisa da derivada. A gente escolhe dois pontos iniciais, por exemplo,
e
, e aplica:
Continuamos até alcançar a precisão desejada.
Passo 5
O Método da Posição Falsa é uma mistura entre a bisseção e a secante. A gente usa a linha que passa pelos dois pontos iniciais para encontrar uma nova aproximação da raiz.
Usando os mesmos
e
, aplicamos:
E seguimos iterando até atingir
.
Passo 6
Por último, vamos ao Método de Iteração de Ponto Fixo. Primeiro, precisamos reescrever a equação
de forma que
. Suponha que reescrevemos para
.
Começamos com um chute inicial, por exemplo,
, e aplicamos:
Repetimos até que a diferença entre
e
seja menor que
.
Resposta
Após aplicar os cinco métodos com os passos descritos, a aproximação para a raiz da equação
no intervalo
é aproximadamente
.
Exercícios relacionados
Converter os seguintes números a base decimal:
d.
d.
Para fazer um pão de cereais, você precisa de 3 ingredientes: farinha, fermento e sementes. Sabemos que um pedaço de pão pesa 540 gr , e que
desse peso deve ser farinha, um décimo fermento e o restante sementes.
a. Calcular o peso de cada um dos ingredientes.
a. Calcular o peso de cada um dos ingredientes.
O polinômio
tem seus três zeros reais, todos no intervalo
.
Verifique que e
.
Verifique que
Use o método de Newton-Raphson para obter uma raiz das equações abaixo (use
):