Use o método de Newton-Raphson para obter uma raiz das equações abaixo (use varepsilon= 10^-2 ):
x^5=6, com x0=2

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação usando o método de Newton-Raphson. Esse método é uma técnica para encontrar raízes de uma função, ou seja, valores de que satisfazem . Vamos precisar calcular derivadas e fazer algumas iterações até chegar a uma solução com a precisão desejada, que nesse caso é (ou seja, até duas casas decimais).

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para termos algo igual a zero:
f(x) = x^5 - 6
Para usar o método de Newton-Raphson, precisamos da derivada dessa função:
f'(x) = 5x^4
Nossa estimativa inicial é .

Passo 3

Agora, aplicamos a fórmula do método de Newton-Raphson:
x1 = x0 - f(x0)f'(x0)
Vamos calcular f(2) = 2^5 - 6 = 32 - 6 = 26 e f'(2) = 5 times 2^4 = 5 times 16 = 80 :
x1 = 2 - 2680 = 2 - 0,325 = 1,675
Então:

Passo 4

Verificamos a diferença entre |1,675 - 2| = 0,325 e :
Como , precisamos continuar.

Passo 5

Aplicamos novamente a fórmula:
x2 = 1,675 - f(1,675)f'(1,675)
Calculamos f(1,675) = (1,675)^5 - 6 approx 14,164 - 6 = 8,164 :
f'(1,675) = 5 times (1,675)^4 approx 5 times 7,825 = 39,125
E x2 = 1,675 - 8,16439,125 approx 1,675 - 0,209 = 1,466 :
Então:

Passo 6

Verificamos a diferença entre |1,466 - 1,675| = 0,209 e :
Ainda , seguimos.

Passo 7

Mais uma iteração:
x3 = 1,466 - f(1,466)f'(1,466)
Calculamos f(1,466) = (1,466)^5 - 6 approx 7,364 - 6 = 1,364 :
f'(1,466) = 5 times (1,466)^4 approx 5 times 4,591 = 22,955
E x3 = 1,466 - 1,36422,955 approx 1,466 - 0,059 = 1,407 :
Então:

Passo 8

Verificamos a diferença entre |1,407 - 1,466| = 0,059 e :
Ainda , continuamos.

Passo 9

Mais uma vez:
x4 = 1,407 - f(1,407)f'(1,407)
Calculamos f(1,407) = (1,407)^5 - 6 approx 5,741 - 6 = -0,259 :
f'(1,407) = 5 times (1,407)^4 approx 5 times 3,918 = 19,590
E x4 = 1,407 - -0,25919,590 approx 1,407 + 0,013 = 1,420 :
Então:

Passo 10

Verificamos a diferença entre |1,420 - 1,407| = 0,013 e :
Ainda , vamos mais uma vez.

Passo 11

Última iteração:
x5 = 1,420 - f(1,420)f'(1,420)
Calculamos f(1,420) = (1,420)^5 - 6 approx 6,000 - 6 = 0,000 :
f'(1,420) = 5 times (1,420)^4 approx 5 times 4,060 = 20,300
E x5 = 1,420 - 0,00020,300 = 1,420 :
Então:

Resposta

A raiz aproximada da equação utilizando o método de Newton-Raphson com é .

Exercícios relacionados