Use o método de Newton-Raphson para obter uma raiz das equações abaixo (use ):

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação usando o método de Newton-Raphson. Esse método é uma técnica para encontrar raízes de uma função, ou seja, valores de que satisfazem . Vamos precisar calcular derivadas e fazer algumas iterações até chegar a uma solução com a precisão desejada, que nesse caso é (ou seja, até duas casas decimais).

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para termos algo igual a zero: Para usar o método de Newton-Raphson, precisamos da derivada dessa função: Nossa estimativa inicial é .

Passo 3

Agora, aplicamos a fórmula do método de Newton-Raphson: Vamos calcular e : Então:

Passo 4

Verificamos a diferença entre e : Como , precisamos continuar.

Passo 5

Aplicamos novamente a fórmula: Calculamos : E : Então:

Passo 6

Verificamos a diferença entre e : Ainda , seguimos.

Passo 7

Mais uma iteração: Calculamos : E : Então:

Passo 8

Verificamos a diferença entre e : Ainda , continuamos.

Passo 9

Mais uma vez: Calculamos : E : Então:

Passo 10

Verificamos a diferença entre e : Ainda , vamos mais uma vez.

Passo 11

Última iteração: Calculamos : E : Então:

Resposta

A raiz aproximada da equação utilizando o método de Newton-Raphson com é .

Exercícios relacionados

O polinômio tem seus três zeros reais, todos no intervalo . Verifique que e .
Seja e . Obtenha uma aproximação para raíz da equação portodos os 5 métodos vistos na disciplina de cálculo numérico. Trabalhe com 6 casas decimais e use arredondamento.
No cálculo da raiz positiva de , pelo método do ponto fixo (ou iteração linear), são feitas transformações para as seguintes funções de iteração: Pelo método de Newton-Raphson, calcule uma aproximação para a raiz de com tolerância a partir do valor inicial do item (a).
Determine as raízes das funções a seguir usando o Método de Newton-Raphson com tolerância . .