Use o método de Newton-Raphson para obter uma raiz das equações abaixo (use ):
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação usando o método de Newton-Raphson. Esse método é uma técnica para encontrar raízes de uma função, ou seja, valores de que satisfazem . Vamos precisar calcular derivadas e fazer algumas iterações até chegar a uma solução com a precisão desejada, que nesse caso é (ou seja, até duas casas decimais).
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para termos algo igual a zero:
Para usar o método de Newton-Raphson, precisamos da derivada dessa função:
Nossa estimativa inicial é .
Passo 3
Agora, aplicamos a fórmula do método de Newton-Raphson:
Vamos calcular e :
Então:
Passo 4
Verificamos a diferença entre e :
Como , precisamos continuar.
Passo 5
Aplicamos novamente a fórmula:
Calculamos :
E :
Então:
Passo 6
Verificamos a diferença entre e :
Ainda , seguimos.
Passo 7
Mais uma iteração:
Calculamos :
E :
Então:
Passo 8
Verificamos a diferença entre e :
Ainda , continuamos.
Passo 9
Mais uma vez:
Calculamos :
E :
Então:
Passo 10
Verificamos a diferença entre e :
Ainda , vamos mais uma vez.
Passo 11
Última iteração:
Calculamos :
E :
Então:
Resposta
A raiz aproximada da equação utilizando o método de Newton-Raphson com é .
Exercícios relacionados
O polinômio tem seus três zeros reais, todos no intervalo .
Verifique que e .
Seja e . Obtenha uma aproximação para raíz da equação portodos os 5 métodos vistos na disciplina de cálculo numérico. Trabalhe com 6 casas decimais e use arredondamento.
No cálculo da raiz positiva de , pelo método do ponto fixo (ou iteração linear), são feitas transformações para as seguintes funções de iteração:
Pelo método de Newton-Raphson, calcule uma aproximação para a raiz de com tolerância a partir do valor inicial do item (a).
Determine as raízes das funções a seguir usando o Método de Newton-Raphson com tolerância .
.