O polinômio p(x)=x^3-72 x^2+144 x-1 tem seus três zeros reais, todos no intervalo (0,2.5).
Verifique que x1 epsilon(0,0.75), x2 epsilon(0.75,1.5) e x3 epsilon(1.5,2.5).

Passo 1

Vamos analisar o exercício. Temos o polinômio , e sabemos que ele possui três zeros reais todos no intervalo . Nosso objetivo é verificar que esses zeros estão distribuídos nos subintervalos , e . Para isso, vamos utilizar o Teorema do Valor Intermediário e avaliar o polinômio em pontos específicos desses intervalos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o polinômio para facilitar os cálculos:
p(x) = x^3 - 72x^2 + 144x - 1 = x^3 - 72x^2 + 72x - 1
Agora, vamos escolher os pontos extremos de cada subintervalo para avaliar :
  • Para : e
  • Para : e
  • Para : e

Passo 3

Vamos calcular p(0) = 0^3 - 72(0)^2 + 72(0) - 1 = -1 nos pontos escolhidos:
  1. Para p(0.75) = (0.75)^3 - 72(0.75)^2 + 72(0.75) - 1 = 0.421875 - 1.96875 + 2.625 - 1 = 0.078125 :
    p(1.5) = (1.5)^3 - 72(1.5)^2 + 72(1.5) - 1 = 3.375 - 7.875 + 5.25 - 1 = -0.25
  2. Para p(2.5) = (2.5)^3 - 72(2.5)^2 + 72(2.5) - 1 = 15.625 - 21.875 + 8.75 - 1 = 1.5 :
  3. Para :
  4. Para :

Passo 4

Agora, vamos analisar as mudanças de sinal de p(0) = -1 e p(0.75) = 0.078125 em cada subintervalo:
  • Entre 0 e 0.75:
    p(0.75) = 0.078125 e p(1.5) = -0.25
    O polinômio muda de negativo para positivo, indicando que há pelo menos um zero nesse intervalo.
  • Entre 0.75 e 1.5:
    p(1.5) = -0.25 e p(2.5) = 1.5
    O polinômio muda de positivo para negativo, indicando outro zero nesse intervalo.
  • Entre 1.5 e 2.5:
    O polinômio muda de negativo para positivo, indicando o terceiro zero nesse intervalo.

Resposta

Portanto, os três zeros reais do polinômio x1 in (0, 0.75), x2 in (0.75, 1.5), x3 in (1.5, 2.5) estão nos seguintes intervalos:

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