Seja A x=b um sistema linear onde rho(BM J)<1 e rho(BM G S)<1. A função rho calcula o raio espectral (maior autovalor em módulo) de uma matriz. Sabendo que raio espectral da matriz de iteração, tanto do MJ como MGS, é um parâmetro que mede a velocidade de convergência de ambos os métodos e que quanto mais próximo de zero estiver o raio espectral mais rápido é a convergência, que relação podemos esperar entre rho(BM J) e rho(BM G S) ? Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza! Vamos lá: o exercício fala sobre sistemas lineares da forma e compara dois métodos de iteração para resolver esse sistema: o método de Jacobi (MJ) e o método de Gauss-Seidel (MGS). O conteúdo que vamos usar aqui é Álgebra Linear, especificamente sobre métodos iterativos para solução de sistemas lineares. Para resolver, precisamos entender o que é o raio espectral ( ) de uma matriz de iteração e como ele afeta a velocidade de convergência desses métodos.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o raio espectral de uma matriz. O raio espectral de uma matriz é o maior valor absoluto entre os autovalores de . Em termos de iteração num método como Jacobi ou Gauss-Seidel, é a matriz que define como a próxima aproximação é calculada a partir da atual.

Passo 3

Sabemos que para ambos os métodos, Jacobi e Gauss-Seidel, o sistema converge se . Além disso, quanto menor for , mais rápido é o processo de convergência para a solução do sistema. Ou seja, um raio espectral mais próximo de zero significa que as iterações estão diminuindo mais rapidamente, levando à solução desejada em menos passos.

Passo 4

Agora, vamos comparar os raios espectrais desses dois métodos. O método de Gauss-Seidel geralmente tem um raio espectral menor ou igual ao do método de Jacobi. Isso ocorre porque Gauss-Seidel utiliza as informações mais atualizadas das iterações anteriores dentro da mesma iteração, tornando o processo mais eficiente e acelerando a convergência.

Passo 5

Portanto, podemos esperar que . Isso significa que o raio espectral da matriz de iteração do Gauss-Seidel é menor ou igual ao do Jacobi, indicando que o método de Gauss-Seidel converge tão rápido quanto ou mais rápido que o método de Jacobi.

Resposta

Esperamos que , ou seja, o raio espectral do Gauss-Seidel é menor ou igual ao do Jacobi, indicando uma convergência tão rápida ou mais rápida.

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