Seja
um sistema linear onde
e
. A função
calcula o raio espectral (maior autovalor em módulo) de uma matriz. Sabendo que raio espectral da matriz de iteração, tanto do MJ como MGS, é um parâmetro que mede a velocidade de convergência de ambos os métodos e que quanto mais próximo de zero estiver o raio espectral mais rápido é a convergência, que relação podemos esperar entre
e
? Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza! Vamos lá: o exercício fala sobre sistemas lineares da forma
e compara dois métodos de iteração para resolver esse sistema: o método de Jacobi (MJ) e o método de Gauss-Seidel (MGS). O conteúdo que vamos usar aqui é Álgebra Linear, especificamente sobre métodos iterativos para solução de sistemas lineares. Para resolver, precisamos entender o que é o raio espectral (
) de uma matriz de iteração e como ele afeta a velocidade de convergência desses métodos.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o raio espectral de uma matriz. O raio espectral
de uma matriz
é o maior valor absoluto entre os autovalores de
. Em termos de iteração num método como Jacobi ou Gauss-Seidel,
é a matriz que define como a próxima aproximação é calculada a partir da atual.
Passo 3
Sabemos que para ambos os métodos, Jacobi e Gauss-Seidel, o sistema converge se
. Além disso, quanto menor for
, mais rápido é o processo de convergência para a solução do sistema. Ou seja, um raio espectral mais próximo de zero significa que as iterações estão diminuindo mais rapidamente, levando à solução desejada em menos passos.
Passo 4
Agora, vamos comparar os raios espectrais desses dois métodos. O método de Gauss-Seidel geralmente tem um raio espectral menor ou igual ao do método de Jacobi. Isso ocorre porque Gauss-Seidel utiliza as informações mais atualizadas das iterações anteriores dentro da mesma iteração, tornando o processo mais eficiente e acelerando a convergência.
Passo 5
Portanto, podemos esperar que
. Isso significa que o raio espectral da matriz de iteração do Gauss-Seidel é menor ou igual ao do Jacobi, indicando que o método de Gauss-Seidel converge tão rápido quanto ou mais rápido que o método de Jacobi.
Resposta
Esperamos que
, ou seja, o raio espectral do Gauss-Seidel é menor ou igual ao do Jacobi, indicando uma convergência tão rápida ou mais rápida.
Exercícios relacionados
Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo:
Seja
definida para
com inversa
. Use o Teorema da Função Inversa para mostrar que
é derivável e calcular
.
Considere o sistema lienar:
Reordene as equações convenientemente e aplique o método de Gauss-Seidel com garantia de convergência.
Um engenheiro civil envolvido em uma construção precisa de 4800, 5800 e
de areia, cascalho fino e cascalho grosso, respectivamente, para terminar a construção. Existem três minas de onde esses minerais podem ser obtidos. A composição dessas minas é:
Areia (%) | Cascalho <br> Fino (%) | Cascalho <br> Grosso (%) | |
---|---|---|---|
Mina 1 | 55 | 30 | 15 |
Mina 2 | 25 | 45 | 30 |
Mina 3 | 25 | 20 | 55 |
Deseja-se obter quantos metros cúbicos devem ser minerados de cada mina para as necessidades do engenheiro. Assim sendo, responda agora aos seguintes itens:
(a) Faça a modelagem do problema montando o sistema linear que o engenheiro terá que resolver para saber a quantidade de metros cúbicos de cada mina que ele precisará para atender suas necessidades ? Faça aqui nesse item apenas a modelagem.
(b) Considerando a matriz dos coeficientes do sistema linear obtido no item (a), obtenha as matrizes de iteração do MJ e
do MGS.
© Obtenha os polinômios característicos das matrizes de iteração e
.
(d) Haverá garantia de convergência se aplicarmos o MJ ao sistema linear ? Justifique sua resposta.
(e) Se a resposta do item anterior garantir convergência para o MJ se aplicado ao sistema linear, então obtenha uma aproximação para a solução do mesmo por esse método tomando o vetor nulo como aproximação inicial e critério de parada . Trabalhe com 4 casas decimais.
(f) Haverá garantia de convergência se aplicarmos o MGS ao sistema linear ? Justifique sua resposta.
(g) Se a resposta do item anterior garantir convergência para o MGS se aplicado ao sistema linear, então obtenha uma aproximação para a solução do mesmo por esse método tomando o vetor nulo como aproximação inicial e critério de parada . Trabalhe com 4 casas decimais.
(a) Faça a modelagem do problema montando o sistema linear que o engenheiro terá que resolver para saber a quantidade de metros cúbicos de cada mina que ele precisará para atender suas necessidades ? Faça aqui nesse item apenas a modelagem.
(b) Considerando a matriz dos coeficientes do sistema linear obtido no item (a), obtenha as matrizes de iteração
© Obtenha os polinômios característicos das matrizes de iteração
(d) Haverá garantia de convergência se aplicarmos o MJ ao sistema linear ? Justifique sua resposta.
(e) Se a resposta do item anterior garantir convergência para o MJ se aplicado ao sistema linear, então obtenha uma aproximação para a solução do mesmo por esse método tomando o vetor nulo como aproximação inicial e critério de parada
(f) Haverá garantia de convergência se aplicarmos o MGS ao sistema linear ? Justifique sua resposta.
(g) Se a resposta do item anterior garantir convergência para o MGS se aplicado ao sistema linear, então obtenha uma aproximação para a solução do mesmo por esse método tomando o vetor nulo como aproximação inicial e critério de parada