Seja um sistema linear onde e . A função calcula o raio espectral (maior autovalor em módulo) de uma matriz. Sabendo que raio espectral da matriz de iteração, tanto do MJ como MGS, é um parâmetro que mede a velocidade de convergência de ambos os métodos e que quanto mais próximo de zero estiver o raio espectral mais rápido é a convergência, que relação podemos esperar entre e ? Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza! Vamos lá: o exercício fala sobre sistemas lineares da forma e compara dois métodos de iteração para resolver esse sistema: o método de Jacobi (MJ) e o método de Gauss-Seidel (MGS). O conteúdo que vamos usar aqui é Álgebra Linear, especificamente sobre métodos iterativos para solução de sistemas lineares. Para resolver, precisamos entender o que é o raio espectral ( ) de uma matriz de iteração e como ele afeta a velocidade de convergência desses métodos.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o raio espectral de uma matriz. O raio espectral de uma matriz é o maior valor absoluto entre os autovalores de . Em termos de iteração num método como Jacobi ou Gauss-Seidel, é a matriz que define como a próxima aproximação é calculada a partir da atual.

Passo 3

Sabemos que para ambos os métodos, Jacobi e Gauss-Seidel, o sistema converge se . Além disso, quanto menor for , mais rápido é o processo de convergência para a solução do sistema. Ou seja, um raio espectral mais próximo de zero significa que as iterações estão diminuindo mais rapidamente, levando à solução desejada em menos passos.

Passo 4

Agora, vamos comparar os raios espectrais desses dois métodos. O método de Gauss-Seidel geralmente tem um raio espectral menor ou igual ao do método de Jacobi. Isso ocorre porque Gauss-Seidel utiliza as informações mais atualizadas das iterações anteriores dentro da mesma iteração, tornando o processo mais eficiente e acelerando a convergência.

Passo 5

Portanto, podemos esperar que . Isso significa que o raio espectral da matriz de iteração do Gauss-Seidel é menor ou igual ao do Jacobi, indicando que o método de Gauss-Seidel converge tão rápido quanto ou mais rápido que o método de Jacobi.

Resposta

Esperamos que , ou seja, o raio espectral do Gauss-Seidel é menor ou igual ao do Jacobi, indicando uma convergência tão rápida ou mais rápida.

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Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo:
Seja definida para com inversa . Use o Teorema da Função Inversa para mostrar que é derivável e calcular .
Considere o sistema lienar:
Reordene as equações convenientemente e aplique o método de Gauss-Seidel com garantia de convergência.
Um engenheiro civil envolvido em uma construção precisa de 4800, 5800 e de areia, cascalho fino e cascalho grosso, respectivamente, para terminar a construção. Existem três minas de onde esses minerais podem ser obtidos. A composição dessas minas é:
Areia (%) Cascalho <br> Fino (%) Cascalho <br> Grosso (%)
Mina 1 55 30 15
Mina 2 25 45 30
Mina 3 25 20 55
Deseja-se obter quantos metros cúbicos devem ser minerados de cada mina para as necessidades do engenheiro. Assim sendo, responda agora aos seguintes itens:
(a) Faça a modelagem do problema montando o sistema linear que o engenheiro terá que resolver para saber a quantidade de metros cúbicos de cada mina que ele precisará para atender suas necessidades ? Faça aqui nesse item apenas a modelagem.
(b) Considerando a matriz dos coeficientes do sistema linear obtido no item (a), obtenha as matrizes de iteração do MJ e do MGS.
© Obtenha os polinômios característicos das matrizes de iteração e .
(d) Haverá garantia de convergência se aplicarmos o MJ ao sistema linear ? Justifique sua resposta.
(e) Se a resposta do item anterior garantir convergência para o MJ se aplicado ao sistema linear, então obtenha uma aproximação para a solução do mesmo por esse método tomando o vetor nulo como aproximação inicial e critério de parada . Trabalhe com 4 casas decimais.
(f) Haverá garantia de convergência se aplicarmos o MGS ao sistema linear ? Justifique sua resposta.
(g) Se a resposta do item anterior garantir convergência para o MGS se aplicado ao sistema linear, então obtenha uma aproximação para a solução do mesmo por esse método tomando o vetor nulo como aproximação inicial e critério de parada . Trabalhe com 4 casas decimais.