Seja
.
© Determine a imagem de
.
© Determine a imagem de
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
e precisa descobrir qual é a imagem dessa função, ou seja, todos os valores que
pode assumir. Para isso, vamos usar conceitos de funções reais de duas variáveis e analisar os possíveis valores dentro da raiz quadrada.
Passo 2
Primeiro, precisamos garantir que o que está dentro da raiz quadrada seja maior ou igual a zero, porque a raiz de número negativo não dá valor real. Então, temos que:
Isso vai nos ajudar a encontrar os limites para
e
.
Passo 3
Vamos reorganizar a desigualdade:
Essa é a equação de uma elipse. Ela nos mostra todos os pares
que fazem a condição ser verdadeira. Agora, precisamos ver quais valores a expressão dentro da raiz pode assumir.
Passo 4
A expressão
varia de 0 a 24, já que
vai de 0 a 24. Ou seja:
Agora, tirando a raiz quadrada dessa expressão:
Passo 5
Finalmente, multiplicamos tudo por
para achar
:
Simplificando
, então:
Resposta
A imagem de
é o intervalo
.
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Crescimento Populacional Uma grande corporação está construindo um complexo de casas, escritórios, lojas, escolas e igrejas em uma área de 4.325 acres na comunidade rural de Glen Cove. Os planejadores estimaram que, devido a este projeto, a população de Glen Cove (em milhares) daqui a
anos será de
a. Qual é a população atual de Glen Cove?
Seja
.
(a) Determine o domínio de .
(a) Determine o domínio de
Seja
.
(e) Calcule e
.
(e) Calcule
Seja
.
(g) Determine a equação da reta tangente à curva obtida pela interseção do gráfico de com o plano
no ponto
.
(g) Determine a equação da reta tangente à curva obtida pela interseção do gráfico de