Seja f(x, y) = (1/2) * raiz(24 - x^2 - 2y^2).
© Determine a imagem de f(x, y), Im(f).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função e precisa descobrir qual é a imagem dessa função, ou seja, todos os valores que pode assumir. Para isso, vamos usar conceitos de funções reais de duas variáveis e analisar os possíveis valores dentro da raiz quadrada.

Passo 2

Primeiro, precisamos garantir que o que está dentro da raiz quadrada seja maior ou igual a zero, porque a raiz de número negativo não dá valor real. Então, temos que:
Isso vai nos ajudar a encontrar os limites para e .

Passo 3

Vamos reorganizar a desigualdade:
Essa é a equação de uma elipse. Ela nos mostra todos os pares que fazem a condição ser verdadeira. Agora, precisamos ver quais valores a expressão dentro da raiz pode assumir.

Passo 4

A expressão varia de 0 a 24, já que vai de 0 a 24. Ou seja:
Agora, tirando a raiz quadrada dessa expressão:

Passo 5

Finalmente, multiplicamos tudo por para achar :
Simplificando , então:

Resposta

A imagem de é o intervalo .

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