Seja
Calcule
e
Calcule
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de uma função
em relação a
e
. A matéria que vamos usar aqui é cálculo, especificamente derivadas parciais de funções de duas variáveis. Precisaremos aplicar regras de derivação, como a regra do quociente, já que a função é uma divisão de expressões envolvendo
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a função
está definida:
Para calcular as derivadas parciais, vamos considerar dois casos: quando
e quando
.
Passo 3
Caso 1:
Aqui,
.
Vamos calcular
e
usando a regra do quociente. A regra do quociente para derivadas parciais diz que:
Aplicando isso para
:
Simplificando:
Agora, para
:
Simplificando:
Passo 4
Caso 2:
Aqui,
. Para calcular as derivadas parciais nesse ponto, usamos a definição de derivada parcial:
Para
:
Esse limite não existe porque depende do valor de
. Portanto,
não está definida.
Resposta
As derivadas parciais de
são:
Exercícios relacionados
Resolva os sistemas abaixo, para identificar
no plano complexo.
Calcule as derivadas parciais de primeira ordem da função
, isto é,
e
, onde:
Responda se afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique suas respostas e no caso de serem falsas corrija ou complemente para que se torne verdadeira.
Seja
. Identifique e represente no plano complexo os elementos inversos de
(da adição e da multiplicação).