Seja
Calcule e

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de uma função em relação a e . A matéria que vamos usar aqui é cálculo, especificamente derivadas parciais de funções de duas variáveis. Precisaremos aplicar regras de derivação, como a regra do quociente, já que a função é uma divisão de expressões envolvendo e .

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a função está definida:
Para calcular as derivadas parciais, vamos considerar dois casos: quando e quando .

Passo 3

Caso 1:
Aqui, .
Vamos calcular e usando a regra do quociente. A regra do quociente para derivadas parciais diz que:
Aplicando isso para :
Simplificando:
Agora, para :
Simplificando:

Passo 4

Caso 2:
Aqui, . Para calcular as derivadas parciais nesse ponto, usamos a definição de derivada parcial:
Para :
Esse limite não existe porque depende do valor de . Portanto, não está definida.

Resposta

As derivadas parciais de são:
ã

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Resolva os sistemas abaixo, para identificar no plano complexo.

Calcule as derivadas parciais de primeira ordem da função , isto é, e , onde:
Responda se afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique suas respostas e no caso de serem falsas corrija ou complemente para que se torne verdadeira.
Seja . Identifique e represente no plano complexo os elementos inversos de (da adição e da multiplicação).