Seja f(x, y)=ccx^3-y^2x^2+y^2, & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0)
Calcule partial fpartial x(x, y) e partial fpartial y(x, y)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de uma função em relação a e . A matéria que vamos usar aqui é cálculo, especificamente derivadas parciais de funções de duas variáveis. Precisaremos aplicar regras de derivação, como a regra do quociente, já que a função é uma divisão de expressões envolvendo e .

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a função f(x, y) = x^3 - y^2x^2 + y^2, & se (x, y) neq (0,0) 0, & se (x, y) = (0,0) está definida:
Para calcular as derivadas parciais, vamos considerar dois casos: quando e quando .

Passo 3

Caso 1: partialpartial x ( uv ) = v cdot partial upartial x - u cdot partial vpartial xv^2
Aqui, u = x^3 - y^2 Rightarrow partial upartial x = 3x^2 .
Vamos calcular v = x^2 + y^2 Rightarrow partial vpartial x = 2x e partial fpartial x = (x^2 + y^2)(3x^2) - (x^3 - y^2)(2x)(x^2 + y^2)^2 usando a regra do quociente. A regra do quociente para derivadas parciais diz que:
partial fpartial x = 3x^4 + 3x^2y^2 - 2x^4 + 2xy^2(x^2 + y^2)^2 = x^4 + 3x^2y^2 + 2xy^2(x^2 + y^2)^2
Aplicando isso para partial upartial y = -2y :
partial vpartial y = 2y
partial fpartial y = (x^2 + y^2)(-2y) - (x^3 - y^2)(2y)(x^2 + y^2)^2
partial fpartial y = -2y x^2 - 2y^3 - 2x^3y + 2y^3(x^2 + y^2)^2 = -2y x^2 - 2x^3y(x^2 + y^2)^2 = -2xy(x^2 + y^2)(x^2 + y^2)^2 = -2xyx^2 + y^2
Simplificando:
Agora, para :
Simplificando:

Passo 4

Caso 2: partial fpartial x(0,0) = limh to 0 f(h,0) - f(0,0)h
Aqui, f(h,0) = h^3 - 0h^2 + 0 = h . Para calcular as derivadas parciais nesse ponto, usamos a definição de derivada parcial:
partial fpartial x(0,0) = limh to 0 h - 0h = 1
partial fpartial y(0,0) = limk to 0 f(0,k) - f(0,0)k
f(0,k) = 0 - k^20 + k^2 = -1
Para partial fpartial y(0,0) = limk to 0 -1 - 0k :
Esse limite não existe porque depende do valor de . Portanto, não está definida.

Resposta

As derivadas parciais de partial fpartial x(x, y) = x^4 + 3x^2y^2 + 2xy^2(x^2 + y^2)^2, & se (x, y) neq (0,0) 1, & se (x, y) = (0,0) são:
partial fpartial y(x, y) = -2xyx^2 + y^2, & se (x, y) neq (0,0) Não existe, & se (x, y) = (0,0)
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