Seja
. Identifique e represente no plano complexo os elementos inversos de
(da adição e da multiplicação).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente trabalhar com números complexos. Primeiro, temos uma expressão para
que envolve operações de adição, multiplicação e divisão com números complexos. A gente vai precisar calcular o valor de
, encontrar os inversos aditivo e multiplicativo dele, e depois representar esses números no plano complexo. Vamos por partes!
Passo 2
Vamos começar calculando
. A expressão dada é:
Primeiro, vamos simplificar
. Sabemos que:
Então,
. Substituindo na expressão:
Agora, vamos calcular o denominador
:
Então, agora temos:
Para simplificar essa fração, vamos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador, que é
:
Calculando o numerador:
E o denominador:
Então,
.
Passo 3
Agora que temos
, vamos encontrar o inverso aditivo. O inverso aditivo de um número complexo é simplesmente
. Isso significa que:
Ou seja, mudamos os sinais das partes real e imaginária de
.
Passo 4
O próximo passo é encontrar o inverso multiplicativo de
, que é
. Para encontrar
, usamos a seguinte fórmula:
Onde
é o conjugado de
e
é o módulo de
.
Primeiro, o conjugado de
é:
O módulo de
é:
Então,
Passo 5
Por fim, vamos representar
,
e
no plano complexo. No plano, o eixo horizontal representa a parte real e o eixo vertical representa a parte imaginária.
-
fica no quadrante IV. -
fica no quadrante II. -
fica no quadrante I.
Cada ponto é representado pelas suas coordenadas
, onde
é a parte real e
é a parte imaginária.
Resposta
O inverso aditivo de
é
e o inverso multiplicativo é
. Ambos estão representados no plano complexo nos quadrantes II e I, respectivamente.
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Responda se afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique suas respostas e no caso de serem falsas corrija ou complemente para que se torne verdadeira.
Seja
Calcule e
Calcule
Calcule o módulo do número complexo dado pelas expressões abaixo
Responda se afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique suas respostas e no caso de serem falsas corrija ou complemente para que se torne verdadeira.