Seja . Identifique e represente no plano complexo os elementos inversos de (da adição e da multiplicação).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente trabalhar com números complexos. Primeiro, temos uma expressão para que envolve operações de adição, multiplicação e divisão com números complexos. A gente vai precisar calcular o valor de , encontrar os inversos aditivo e multiplicativo dele, e depois representar esses números no plano complexo. Vamos por partes!

Passo 2

Vamos começar calculando . A expressão dada é:
Primeiro, vamos simplificar . Sabemos que:
Então, . Substituindo na expressão:
Agora, vamos calcular o denominador :
Então, agora temos:
Para simplificar essa fração, vamos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador, que é :
Calculando o numerador:
E o denominador:
Então, .

Passo 3

Agora que temos , vamos encontrar o inverso aditivo. O inverso aditivo de um número complexo é simplesmente . Isso significa que:
Ou seja, mudamos os sinais das partes real e imaginária de .

Passo 4

O próximo passo é encontrar o inverso multiplicativo de , que é . Para encontrar , usamos a seguinte fórmula:
Onde é o conjugado de e é o módulo de .
Primeiro, o conjugado de é:
O módulo de é:
Então,

Passo 5

Por fim, vamos representar , e no plano complexo. No plano, o eixo horizontal representa a parte real e o eixo vertical representa a parte imaginária.
  • fica no quadrante IV.
  • fica no quadrante II.
  • fica no quadrante I.
Cada ponto é representado pelas suas coordenadas , onde é a parte real e é a parte imaginária.

Resposta

O inverso aditivo de é e o inverso multiplicativo é . Ambos estão representados no plano complexo nos quadrantes II e I, respectivamente.

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Responda se afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique suas respostas e no caso de serem falsas corrija ou complemente para que se torne verdadeira.
Seja
Calcule e
Calcule o módulo do número complexo dado pelas expressões abaixo
Responda se afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique suas respostas e no caso de serem falsas corrija ou complemente para que se torne verdadeira.