Seja f(x, y) uma função diferenciável tal que x * fy(x, y) = 4 * y * fx(x, y) para todo (x, y). Verifique que a elipse de equação x^2/4 + y^2 = 1 está contida numa curva de nível de f.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função diferenciável que satisfaz a equação para todo ponto . A gente precisa verificar se a elipse de equação está contida em uma curva de nível de .
Para resolver isso, vamos usar equações diferenciais parciais e entender como elas definem as curvas de nível da função . Vamos seguir passo a passo para chegar à resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação dada:
Aqui, e representam as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente.
Essa é uma equação diferencial parcial de primeira ordem. Para resolver, podemos usar o método das características, que nos ajuda a encontrar curvas ao longo das quais a função é constante.

Passo 3

Usando o método das características, definimos a relação entre as derivadas:
Isso vem da equação original , rearranjando para obter a inclinação das curvas características.

Passo 4

Agora, vamos resolver a equação diferencial ordinária:
Podemos separar as variáveis:
Integrando ambos os lados:
Multiplicando tudo por 2 para simplificar:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Rearranjando a equação, temos:
Essa é a equação geral das elipses, onde cada valor de corresponde a uma elipse diferente.

Passo 6

A solução geral da equação diferencial é que é uma função constante ao longo das curvas características, ou seja:
Onde é uma função arbitrária de .

Passo 7

Agora, vamos analisar a elipse dada no enunciado:
Multiplicando ambos os lados por 4 para deixar na forma geral:
Isso mostra que a elipse específica é uma das curvas características onde é constante.

Passo 8

Como a função é constante ao longo de , e a nossa elipse é , segue que a elipse está contida em uma curva de nível de , onde:

Resposta

A elipse está contida em uma curva de nível de , ou seja, é constante ao longo dessa elipse.

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