Seja
uma função diferenciável tal que
para todo
. Verifique que a elipse de equação
está contida numa curva de nível de
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função diferenciável
que satisfaz a equação
para todo ponto
. A gente precisa verificar se a elipse de equação
está contida em uma curva de nível de
.
Para resolver isso, vamos usar equações diferenciais parciais e entender como elas definem as curvas de nível da função
. Vamos seguir passo a passo para chegar à resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação dada:
Aqui,
e
representam as derivadas parciais de
em relação a
e
, respectivamente.
Essa é uma equação diferencial parcial de primeira ordem. Para resolver, podemos usar o método das características, que nos ajuda a encontrar curvas ao longo das quais a função
é constante.
Passo 3
Usando o método das características, definimos a relação entre as derivadas:
Isso vem da equação original
, rearranjando para obter a inclinação das curvas características.
Passo 4
Agora, vamos resolver a equação diferencial ordinária:
Podemos separar as variáveis:
Integrando ambos os lados:
Multiplicando tudo por 2 para simplificar:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Rearranjando a equação, temos:
Essa é a equação geral das elipses, onde cada valor de
corresponde a uma elipse diferente.
Passo 6
A solução geral da equação diferencial é que
é uma função constante ao longo das curvas características, ou seja:
Onde
é uma função arbitrária de
.
Passo 7
Agora, vamos analisar a elipse dada no enunciado:
Multiplicando ambos os lados por 4 para deixar na forma geral:
Isso mostra que a elipse específica
é uma das curvas características onde
é constante.
Passo 8
Como a função
é constante ao longo de
, e a nossa elipse é
, segue que a elipse está contida em uma curva de nível de
, onde:
Resposta
A elipse
está contida em uma curva de nível de
, ou seja,
é constante ao longo dessa elipse.