Utilize o método de variação dos parâmetros para determinar a solução geral das seguintes equações diferenciais:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial de terceira ordem:
Vamos resolver essa equação usando o método de variação dos parâmetros. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre equações diferenciais lineares e como encontrar soluções gerais para elas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação para facilitar o trabalho. Podemos dividir ambos os lados por 12.18 para isolar :
Calculando a fração:
Agora, nossa equação ficou mais simples:
Passo 3
A equação é uma equação diferencial linear de terceira ordem com coeficientes constantes. Para resolver isso, a gente precisa encontrar a solução geral, que é composta pela solução da equação homogênea associada mais uma solução particular da equação completa.
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea:
Passo 4
Resolvendo a equação homogênea :
Integrando uma vez:
Integrando de novo:
E integrando mais uma vez:
Aqui, , e são constantes de integração.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar uma solução particular da equação completa . Como o lado direito é uma constante, vamos supor que a solução particular também seja uma constante, digamos .
Então, derivando :
Mas sabemos que , o que não é possível se for constante. Isso indica que nossa suposição está errada. Na verdade, precisamos reconsiderar nossa abordagem.
Passo 6
Vamos tentar uma solução particular da forma , onde é uma constante a ser determinada. Calculando as derivadas:
Substituindo na equação original:
Resolvendo para :
Então, nossa solução particular é:
Passo 7
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular: