Seja u = raiz(x^2 + y^2 + z^2), calcule u_xx + u_yy + u_zz.

Passo 1

Então, a gente tem uma função e precisamos calcular a soma das segundas derivadas parciais de em relação a , e , ou seja, . Isso está relacionado ao cálculo de derivadas parciais e ao operador laplaciano na matemática. Para resolver, vamos calcular cada segunda derivada parcial separadamente e depois somá-las.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada parcial de em relação a . A função é , e para derivar essa raiz, usamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a é .

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia para em relação a :
Aqui simplificamos os termos e expressamos em termos de .

Passo 4

Agora, vamos derivar novamente em relação a para encontrar . Usamos a regra do quociente:
Substituímos que já encontramos.

Passo 5

Substituindo na expressão de :
Aqui, usamos que .

Passo 6

De forma semelhante, calculamos e . Seguindo os mesmos passos:

Passo 7

Agora, somamos todas as segundas derivadas parciais:
Como , substituímos na expressão:

Resposta

A soma das segundas derivadas parciais é .

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