Seja
, calcule
.
Passo 1
Então, a gente tem uma função
e precisamos calcular a soma das segundas derivadas parciais de
em relação a
,
e
, ou seja,
. Isso está relacionado ao cálculo de derivadas parciais e ao operador laplaciano na matemática. Para resolver, vamos calcular cada segunda derivada parcial separadamente e depois somá-las.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada parcial de
em relação a
. A função
é
, e para derivar essa raiz, usamos a regra da cadeia. A derivada de
em relação a
é
.
Passo 3
Aplicando a regra da cadeia para
em relação a
:
Aqui simplificamos os termos e expressamos
em termos de
.
Passo 4
Agora, vamos derivar
novamente em relação a
para encontrar
. Usamos a regra do quociente:
Substituímos
que já encontramos.
Passo 5
Substituindo
na expressão de
:
Aqui, usamos que
.
Passo 6
De forma semelhante, calculamos
e
. Seguindo os mesmos passos:
Passo 7
Agora, somamos todas as segundas derivadas parciais:
Como
, substituímos na expressão:
Resposta
A soma das segundas derivadas parciais é
.