Seja . Determine: a inclinação da superfície na direção no ponto .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a inclinação da superfície na direção do eixo no ponto . Para isso, vamos precisar usar o conceito de derivada parcial, que nos ajuda a entender como a função muda quando variamos apenas uma das variáveis, mantendo a outra constante.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a inclinação na direção do . Isso quer dizer que queremos saber como muda quando alteramos apenas , mantendo fixo em 4. Para encontrar essa inclinação, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , representada por .

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a . Para derivar uma função do tipo , usamos a regra da cadeia:
onde .

Passo 4

Primeiro, encontramos :
Agora, substituímos de volta na expressão da derivada parcial:

Passo 5

Agora que temos a expressão para , vamos calcular o valor dessa derivada no ponto :

Resposta

A inclinação da superfície na direção do no ponto é .

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