Seja . Determine: a inclinação da superfície na direção no ponto .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a inclinação da superfície na direção do eixo no ponto . Para isso, vamos precisar usar o conceito de derivada parcial, que nos ajuda a entender como a função muda quando variamos apenas uma das variáveis, mantendo a outra constante.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a inclinação na direção do . Isso quer dizer que queremos saber como muda quando alteramos apenas , mantendo fixo em 4. Para encontrar essa inclinação, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , representada por .
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de em relação a . Para derivar uma função do tipo , usamos a regra da cadeia:
onde .
Passo 4
Primeiro, encontramos :
Agora, substituímos de volta na expressão da derivada parcial:
Passo 5
Agora que temos a expressão para , vamos calcular o valor dessa derivada no ponto :
Resposta
A inclinação da superfície na direção do no ponto é .