Seja . Determine: a inclinação da superfície na direção no ponto .
Passo 1
Vamos resolver o problema que pede para encontrar a inclinação da superfície na direção do eixo no ponto . Esse problema pertence ao estudo de cálculo multivariável, mais especificamente às derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar entender como calcular a derivada parcial de em relação a e depois avaliar essa derivada no ponto dado.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a . A derivada parcial nos mostra como a função muda quando só uma das variáveis muda, mantendo a outra constante. No nosso caso, mantemos constante e derivamos em relação a .
A função é . Para derivar isso em relação a , usamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a é , e depois multiplicamos pela derivada de em relação a .
Então,
Passo 3
Agora que temos a expressão para a derivada parcial em relação a , vamos avaliar essa derivada no ponto . Isso significa substituir e na expressão que encontramos.
Primeiro, calculamos o valor dentro da raiz:
Então substituímos na derivada:
Resposta
A inclinação da superfície na direção no ponto é .