Seja f(x, y) = raiz_cubica(x^3 - y^3 - 6*x^2 + 12*x - 8). Calcule, caso existam, f_x(2,0) e f_y(2,0).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente precisa calcular as derivadas parciais de nos pontos . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial, mais especificamente sobre derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da cadeia para derivadas e entender como calcular derivadas de funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que facilite a diferenciação:
Agora, para encontrar a derivada parcial em relação a , , usamos a regra da cadeia. A regra da cadeia nos diz que a derivada de uma função composta é a derivada da função externa multiplicada pela derivada da função interna.
Então, a derivada parcial de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a , , novamente aplicando a regra da cadeia:

Passo 4

Vamos agora avaliar essas derivadas no ponto . Primeiro, substituímos e na expressão dentro da raiz cúbica:
Isso significa que a expressão dentro da raiz cúbica é zero no ponto . Agora, observando as derivadas parciais:
Como estamos multiplicando infinito por zero, essas expressões são indefinidas. Portanto, as derivadas parciais e não existem nesse ponto.

Resposta

As derivadas parciais e não existem.

Exercícios relacionados

Teste se as EDOs são exatas. Em caso negativo, use os fatores integrantes fornecidos ou ache por inspeção, ou utilize os teoremas estudados. Adicionalmente, encontre a solução da EDO e se uma condição inicial for dada, determine a solução particular.
[-y/x^2 + 2 cos(2x)] + [1/x - 2 sen(2y)] dy/dx = 0
Escreva a forma quadrática Q(h1, h2) associada à matriz simétrica A e classifique-a (positiva definida, negativa definida, indefinida, positiva semidefinida, negativa semidefinida):
(9.2) A = [[-3, 4], [4, -5]]
Usando o critério de Sylvester determine se as funções abaixo possuem máximo local, mínimo local e pontos de sela:
(10.3) f(x, y, z) = -x^4 + y^2 * z^2 - x * y * z + x^2 + 2 * y^2 + z^2 + 1
Teste se as EDOs são exatas. Em caso negativo, use os fatores integrantes fornecidos ou ache por inspeção, ou utilize os teoremas estudados. Adicionalmente, encontre a solução da EDO e se uma condição inicial for dada, determine a solução particular.
(x^4 + y^2) dx - x y dy = 0, y(2) = 1