Seja F(x, y) = -r / ||r||^2, onde r = x i + y j. (b) Encontre rot F

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos um campo vetorial definido por , onde . O exercício solicita que encontremos o rotacional (ou curl) desse campo vetorial, denotado por rot F. Para resolver isso, vamos precisar aplicar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre como calcular o rotacional de campos vetoriais em duas dimensões.

Passo 2

Vamos começar reescrevendo o campo vetorial F de forma mais clara. Sabemos que , então a norma de r é:
Portanto, . Assim, o campo vetorial fica:
Aqui, identificamos as componentes P e Q do campo vetorial F:

Passo 3

Agora, vamos lembrar da fórmula para calcular o rotacional de um campo vetorial em duas dimensões. Para um campo , o rotacional é dado por:
Nosso objetivo é calcular essas derivadas parciais e subtrair os resultados.

Passo 4

Vamos calcular . Sabemos que:
Aplicando a regra do quociente para derivar em relação a x:

Passo 5

Agora, vamos calcular . Temos:
Derivando em relação a y usando a regra do quociente:

Passo 6

Agora, substituímos os resultados na fórmula do rotacional:

Resposta

O rotacional de F é zero, ou seja, .

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