Seja
, onde
. (b) Encontre
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos um campo vetorial definido por
, onde
. O exercício solicita que encontremos o rotacional (ou curl) desse campo vetorial, denotado por
. Para resolver isso, vamos precisar aplicar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre como calcular o rotacional de campos vetoriais em duas dimensões.
Passo 2
Vamos começar reescrevendo o campo vetorial
de forma mais clara. Sabemos que
, então a norma de
é:
Portanto,
. Assim, o campo vetorial fica:
Aqui, identificamos as componentes
e
do campo vetorial
:
Passo 3
Agora, vamos lembrar da fórmula para calcular o rotacional de um campo vetorial em duas dimensões. Para um campo
, o rotacional é dado por:
Nosso objetivo é calcular essas derivadas parciais e subtrair os resultados.
Passo 4
Vamos calcular
. Sabemos que:
Aplicando a regra do quociente para derivar em relação a
:
Passo 5
Agora, vamos calcular
. Temos:
Derivando em relação a
usando a regra do quociente:
Passo 6
Agora, substituímos os resultados na fórmula do rotacional:
Resposta
O rotacional de
é zero, ou seja,
.
Exercícios relacionados
Seja
. Calcule
.
Represente geometricamente o campo vetorial
dado por
.
Calcule o divergente dos seguintes campos: ©
.
Represente geometricamente o campo vetorial
dado por
.