Seja , onde . (b) Encontre

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos um campo vetorial definido por , onde . O exercício solicita que encontremos o rotacional (ou curl) desse campo vetorial, denotado por . Para resolver isso, vamos precisar aplicar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre como calcular o rotacional de campos vetoriais em duas dimensões.

Passo 2

Vamos começar reescrevendo o campo vetorial de forma mais clara. Sabemos que , então a norma de é:
Portanto, . Assim, o campo vetorial fica:
Aqui, identificamos as componentes e do campo vetorial :

Passo 3

Agora, vamos lembrar da fórmula para calcular o rotacional de um campo vetorial em duas dimensões. Para um campo , o rotacional é dado por:
Nosso objetivo é calcular essas derivadas parciais e subtrair os resultados.

Passo 4

Vamos calcular . Sabemos que:
Aplicando a regra do quociente para derivar em relação a :

Passo 5

Agora, vamos calcular . Temos:
Derivando em relação a usando a regra do quociente:

Passo 6

Agora, substituímos os resultados na fórmula do rotacional:

Resposta

O rotacional de é zero, ou seja, .

Exercícios relacionados

Seja . Calcule .
Represente geometricamente o campo vetorial dado por .
Calcule o divergente dos seguintes campos: © .
Represente geometricamente o campo vetorial dado por .