Seja . Calcule .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A parada aqui é calcular o rotacional (ou curl) do campo vetorial . Isso está relacionado ao cálculo vetorial, onde usamos o rotacional para entender como o campo está girando em cada ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o rotacional de um campo vetorial. O rotacional de é dado por:
Então, precisamos identificar P, Q e R no nosso campo .

Passo 3

No nosso caso:
Agora, vamos calcular cada uma das derivadas parciais necessárias para encontrar o rotacional.

Passo 4

Calculando as derivadas parciais:
  1. (porque x e y são constantes em relação a z)
  2. (porque y e z são constantes em relação a x)

Passo 5

Agora, substituindo essas derivadas na fórmula do rotacional:
Simplificando cada componente:

Resposta

O rotacional de é dado por:

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Represente geometricamente o campo vetorial dado por .
Represente geometricamente o campo vetorial dado por .
Seja , onde . (b) Encontre
Calcule o divergente dos seguintes campos: © .