Seja
é contínua em
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para ver se a função
é contínua no ponto
. Estamos lidando com cálculo multivariável, especificamente com continuidade de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos verificar se o limite de
quando
se aproxima de
é igual ao valor da função nesse ponto, que é
.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como calcular o limite de
quando
se aproxima de
. A função é definida como:
Vamos usar coordenadas polares para facilitar, onde
e
. Isso ajuda a simplificar a expressão do limite.
Passo 3
Substituindo
e
por
e
na função, temos:
Simplificando a expressão:
Passo 4
Agora, vamos fatorar
no denominador:
Passo 5
Para encontrar o limite quando
tende a
, vamos analisar o numerador e o denominador:
- Numerador:
tende a porque está multiplicando. - Denominador:
tende a porque o segundo termo vai para .
Passo 6
Então, o limite da função é:
Pois
tende a
.
Resposta
Como o limite de
quando
se aproxima de
é igual a
, que é exatamente o valor de
, podemos concluir que
é contínua em
.
Exercícios relacionados
Seja
Mostre que é contínua em ( 0,0 ).
Mostre que
Seja
Calcule .
Calcule
Seja
é diferenciável em
?
Seja
Mostre que é diferenciável em
.
Mostre que