Seja
é contínua em ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para ver se a função é contínua no ponto . Estamos lidando com cálculo multivariável, especificamente com continuidade de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos verificar se o limite de quando se aproxima de é igual ao valor da função nesse ponto, que é .

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como calcular o limite de quando se aproxima de . A função é definida como:
Vamos usar coordenadas polares para facilitar, onde e . Isso ajuda a simplificar a expressão do limite.

Passo 3

Substituindo e por e na função, temos:
Simplificando a expressão:

Passo 4

Agora, vamos fatorar no denominador:

Passo 5

Para encontrar o limite quando tende a , vamos analisar o numerador e o denominador:
  • Numerador: tende a porque está multiplicando.
  • Denominador: tende a porque o segundo termo vai para .

Passo 6

Então, o limite da função é:
Pois tende a .

Resposta

Como o limite de quando se aproxima de é igual a , que é exatamente o valor de , podemos concluir que é contínua em .

Exercícios relacionados

Seja
Mostre que é contínua em ( 0,0 ).
Seja
Calcule .
Seja
é diferenciável em ?
Seja
Mostre que é diferenciável em .