Seja f(x, y) = { x^3 / (x^2 + y^2), se (x, y) ≠ (0, 0); 0, se (x, y) = (0, 0) }
Mostre que f é contínua em ( 0,0 ).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a função é contínua no ponto . Estamos lidando com continuidade de funções de duas variáveis, e para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua nesse contexto. Basicamente, precisamos verificar se o limite da função quando se aproxima de é igual ao valor da função nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é continuidade em duas variáveis. Uma função é contínua no ponto se:
No nosso caso, e . Então, precisamos verificar se:

Passo 3

Para encontrar esse limite, vamos usar coordenadas polares, que são úteis quando estamos lidando com limites em várias direções. Em coordenadas polares, temos:
Onde é a distância até a origem e é o ângulo. Substituindo na função:

Passo 4

Agora, queremos ver o comportamento de quando . Observe que:
Porque . Então, à medida que , .

Resposta

Portanto, . Assim, a função é contínua em .

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