Seja
Mostre que
é contínua em ( 0,0 ).
Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a função
é contínua no ponto
. Estamos lidando com continuidade de funções de duas variáveis, e para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua nesse contexto. Basicamente, precisamos verificar se o limite da função quando
se aproxima de
é igual ao valor da função nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é continuidade em duas variáveis. Uma função
é contínua no ponto
se:
No nosso caso,
e
. Então, precisamos verificar se:
Passo 3
Para encontrar esse limite, vamos usar coordenadas polares, que são úteis quando estamos lidando com limites em várias direções. Em coordenadas polares, temos:
Onde
é a distância até a origem e
é o ângulo. Substituindo na função:
Passo 4
Agora, queremos ver o comportamento de
quando
. Observe que:
Porque
. Então, à medida que
,
.
Resposta
Portanto,
. Assim, a função
é contínua em
.
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Calcule .
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é diferenciável em
?
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é contínua em
?
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é diferenciável em
?