Seja gamma a curva de interseção dos cilindros x^2 + z^2 = 16 e y^2 + z^2 = 16 entre os pontos A = (2, 2, 2 raiz(3)) e B = (2 raiz(3), 2 raiz(3), 2) e seja F(x, y, z) = (x^2 + z^2, x^2 + y^2, y^2 + z^2). Parametrize gamma no sentido de A para B.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de Geometria Analítica, mais especificamente sobre parametrização de curvas. A gente precisa encontrar uma maneira de representar a curva de interseção de dois cilindros dados pelas equações e , indo do ponto até o ponto . Para isso, vamos precisar usar conhecimentos sobre interseção de superfícies e parametrização de curvas no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a interseção dos dois cilindros. Temos as equações:
Subtraindo a equação (2) da equação (1):
Isso significa que ou . No nosso caso, olhando os pontos e , vemos que para ambos. Então vamos focar nessa relação.

Passo 3

Agora que sabemos que , podemos substituir esse valor na qualquer uma das equações dos cilindros. Vamos usar a equação (1):
Como , podemos deixar nossa parametrização em termos de um ângulo , já que estamos lidando com cilindros circulares. Vamos expressar e usando funções trigonométricas:
E como , então:

Passo 4

Então, nossa parametrização fica:
Agora, precisamos determinar o intervalo de para ir do ponto até o ponto .

Passo 5

Vamos encontrar os valores de correspondentes aos pontos e .
Para o ponto :
Para o ponto :

Passo 6

Portanto, a parametrização da curva no sentido de para é:

Resposta

A parametrização da curva no sentido de para é:

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