Seja
a curva de interseção dos cilindros
e
entre os pontos
e
e seja
. Parametrize
no sentido de
para
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de Geometria Analítica, mais especificamente sobre parametrização de curvas. A gente precisa encontrar uma maneira de representar a curva de interseção de dois cilindros dados pelas equações
e
, indo do ponto
até o ponto
. Para isso, vamos precisar usar conhecimentos sobre interseção de superfícies e parametrização de curvas no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a interseção dos dois cilindros. Temos as equações:
Subtraindo a equação (2) da equação (1):
Isso significa que
ou
. No nosso caso, olhando os pontos
e
, vemos que
para ambos. Então vamos focar nessa relação.
Passo 3
Agora que sabemos que
, podemos substituir esse valor na qualquer uma das equações dos cilindros. Vamos usar a equação (1):
Como
, podemos deixar nossa parametrização em termos de um ângulo
, já que estamos lidando com cilindros circulares. Vamos expressar
e
usando funções trigonométricas:
E como
, então:
Passo 4
Então, nossa parametrização fica:
Agora, precisamos determinar o intervalo de
para ir do ponto
até o ponto
.
Passo 5
Vamos encontrar os valores de
correspondentes aos pontos
e
.
Para o ponto
:
Para o ponto
:
Passo 6
Portanto, a parametrização da curva
no sentido de
para
é:
Resposta
A parametrização da curva
no sentido de
para
é: