Seja . Calcule:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função de duas variáveis, , e precisamos encontrar a derivada parcial de em relação a no ponto . Vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma derivada parcial. Quando temos uma função com mais de uma variável, a derivada parcial em relação a uma dessas variáveis mostra como a função muda quando a gente varia apenas uma delas, mantendo as outras constantes.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, . A nossa função é .

Passo 4

Para derivar em relação a , tratamos como constante. A derivada de em relação a é zero, porque não depende de . Então, a derivada de em relação a é .

Passo 5

Assim, a derivada parcial fica:

Passo 6

Agora, vamos avaliar essa derivada no ponto . Isso significa que substituímos por e por :

Passo 7

Vamos simplificar:
  • (porque )

Passo 8

Multiplicando os resultados:

Resposta

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Calcule as derivadas parciais das seguintes funções:
Identifique as seguintes funções como crescentes © ou decrescentes (D):
©
Se e são funções de em dadas por e . Determine:
(e)
Calcule as derivadas parciais das seguintes funções: